Question

如圖甲所示，長方形金屬框abcd（下面簡(jiǎn)稱方框），各邊長度為ac=bd=

l

2

、ab=cd=l，方框外側(cè)套著一個(gè)內(nèi)側(cè)壁長分別為

l

2

及l(fā)的U型金屬框架MNPQ（下面簡(jiǎn)稱U型框），U型框與方框之間接觸良好且無摩擦．兩個(gè)金屬框的質(zhì)量均為m，PQ邊、ab邊和cd邊的電阻均為r，其余各邊電阻可忽略不計(jì)．將兩個(gè)金屬框放在靜止在水平地面上的矩形粗糙絕緣平面上，將平面的一端緩慢抬起，直到這兩個(gè)金屬框都恰能在此平面上勻速下滑，這時(shí)平面與地面的夾角為θ，此時(shí)將平面固定構(gòu)成一個(gè)傾角為θ的斜面．已知兩框與斜面間的最大靜摩擦力近似等于滑動(dòng)摩擦力．在斜面上有兩條與其底邊垂直的、電阻可忽略不計(jì)，且足夠長的光滑金屬軌道，兩軌道間的寬度略大于l，使兩軌道能與U型框保持良好接觸，在軌道上端接有電壓傳感器并與計(jì)算機(jī)相連，如圖乙所示．在軌道所在空間存在垂直于軌道平面斜向下、磁感強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．

（1）若將方框固定不動(dòng)，用與斜面平行，且垂直PQ邊向下的力拉動(dòng)U型框，使它勻速向下運(yùn)動(dòng)，在U形框與方框分離之前，計(jì)算機(jī)上顯示的電壓為恒定電壓U₀，求U型框向下運(yùn)動(dòng)的速度多大；
（2）若方框開始時(shí)靜止但不固定在斜面上，給U型框垂直PQ邊沿斜面向下的初速度v₀，如果U型框與方框最后能不分離而一起運(yùn)動(dòng)，求在這一過程中電流通過方框產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）若方框開始時(shí)靜止但不固定在斜面上，給U型框垂直PQ邊沿斜面向下的初速度3v₀，U型框與方框?qū)��?huì)分離．求在二者分離之前U型框速度減小到2v₀時(shí)，方框的加速度．
注：兩個(gè)電動(dòng)勢(shì)均為E、內(nèi)阻均為r的直流電源，若并聯(lián)在一起，可等效為電動(dòng)勢(shì)仍為E，內(nèi)電阻為

r

2

的電源；若串聯(lián)在一起，可等效為電動(dòng)勢(shì)為2E，內(nèi)電阻為2r的電源．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)公式求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律可以求出速度．
（2）分析棒的運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與能量守恒定律可以求出產(chǎn)生的熱量．
（3）由動(dòng)量守恒定律、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式、歐姆定律、安培力公式與牛頓第二定律可以求出加速度．

解答：解：（1）當(dāng)U型框以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)，在與方框分離之前，方框ab邊和cd邊為外電路，PQ邊為電源，它產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=Blv，
內(nèi)電路電阻為r，外電路電阻為0.5r，U0=

0.5r

(r+0.5r)

Blv，
解得：v=

3U0

Bl

；
（2）由于兩金屬框在斜面上恰能勻速下滑，所以沿斜面方向兩個(gè)金屬框所受合力為零，因此兩個(gè)金屬框組成的系統(tǒng)沿斜面方向動(dòng)量守恒．
設(shè)二兩個(gè)金屬框一起運(yùn)動(dòng)的共同速度為v₁，則 mv₀=2mv₁，解得v1=

1

2

v0
兩個(gè)框產(chǎn)生的焦耳熱：Q=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

×2mv12=

1

4

m

v

2 0

，
設(shè)方框產(chǎn)生的焦耳為Q_方，則

Q方

Q

=

0.5r

1.5r

=

1

3

，
解得Q方=

1

12

m

v

2 0

，
（3）設(shè)U型框速度為2v₀時(shí)，方框的速度為v₂，二框組成的系統(tǒng)沿斜面方向動(dòng)量守恒，
則3mv₀=2mv₀+mv₂，解得v₂=v₀
框組成回路的總電動(dòng)勢(shì)  E_總=2Blv₀-Blv₀=Blv₀，
兩框組成回路中的電流 I=

E總

R總

=

Blv0

r+0.5r

=

2Blv0

3r

，
方框受到的安培力即為合外力 F=BIl=

2B2l2v0

3r

，
根據(jù)牛頓第二定律解得此時(shí)方框的加速度  a=

F

m

=

2B2l2v0

3mr

；
答：（1）U型框向下運(yùn)動(dòng)的速度為

3U0

Bl

．
（2）電流通過方框產(chǎn)生的焦耳熱為

1

12

mv₀²．
（3）二者分離之前U型框速度減小到2v₀時(shí)，方框的加速度為

2B2l2v0

3mr

．

點(diǎn)評(píng)：分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過程，對(duì)導(dǎo)體棒正確受力分析、從能量的角度分析問題是正確解題的關(guān)鍵．