Question

13．探索火星的奧秘承載著人類征服宇宙的夢(mèng)想．假設(shè)人類某次利用飛船探測(cè)火星的過程中，探測(cè)飛船只在萬有引力作用下貼著火星表面繞火星做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，測(cè)得其繞行速度為v，繞行一周所用時(shí)間為T，已知引力常量為G，則（　�。�

• A． 火星表面的重力加速度為$\frac{πv}{T}$
• B． 火星的半徑為$\frac{Tv}{2π}$
• C． 火星的密度為$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• D． 火星的質(zhì)量為$\frac{T{v}^{2}}{2πG}$

Answer 1

分析 根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)公式求出火星半徑，根據(jù)萬有引力提供向心力和密度公式求出火星的密度和質(zhì)量，根據(jù)重力和萬有引力相等得出火星表面的重力加速度．

解答 解：飛船在火星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑等于火星的半徑，根據(jù)$v=\frac{2πR}{T}$，得$R=\frac{vT}{2π}$，故B正確；
根據(jù)萬有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，得火星的質(zhì)量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，
根據(jù)密度公式得火星的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$，故C正確
根據(jù)$M=ρ•\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}×\frac{4π}{3}×（\frac{vT}{2π}）_{\;}^{3}$=$\frac{T{v}_{\;}^{3}}{2πG}$，故D錯(cuò)誤；
根據(jù)重力等于萬有引力得，$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{2πv}{T}$，故A錯(cuò)誤；
故選：BC

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬有引力定律在天體中的應(yīng)用，關(guān)鍵是萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個(gè)理論，并能靈活運(yùn)用．