Question

1．如圖所示，水平軌道PAB與豎直光滑圓弧軌道相連，出口為水平軌道BE，其中，PA段光滑，AB段粗糙，動摩擦因數(shù)μ=0.1，AB段長度L=2m，半徑R=1m，輕質(zhì)彈簧左端固定于P點，右端處于自由狀態(tài)時位于A點，現(xiàn)用力推質(zhì)量m=2kg的小滑塊，使其緩慢壓縮彈簧（即推力做功全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能），當(dāng)推力做功W=20J時撤去推力，重力加速度取g=10m/s²．
（1）判斷小滑塊能否到達(dá)C點，如果能，求出滑塊到達(dá)C點的速度vc；如果不能，求出滑塊能達(dá)到的最大高度h；
（2）求滑塊第一次到達(dá)圓弧軌道最低點B時對軌道的壓力；
（3）如果要使小滑塊進(jìn)入圓弧軌道后不能脫離軌道（滑回PAB或從BE滑出），推力做功W應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)功能關(guān)系求出小滑塊速度第一次為零時上升的最大高度，即可作出判斷．
（2）由動能定理求出滑塊第一次到達(dá)點B時的速度，再由牛頓運動定律求對軌道的壓力．
（3）小滑塊進(jìn)入圓弧軌道后不能脫離軌道，可能做完整的圓周運動，也可能在O點下方半圓周內(nèi)做往復(fù)運動．求出最高點的臨界速度，再由動能定理求W的范圍即可．

解答 解：（1）從撤去推力到滑塊第一次速度為零，上升的最大高度為h，根據(jù)動能定理得 W-μmgL-mgh=0
解得 h=0.8m，因h＜R，故滑塊不能到達(dá)C點．
（2）設(shè)滑塊第一次到達(dá)B點時的速度為v_B．
根據(jù)動能定理得：W-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在B點，根據(jù)牛頓第二定律有 N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得 N=52N
由牛頓第三定律知，滑塊對軌道的壓力大小為52N，方向豎直向下．
（3）要保證滑塊不能脫離軌道，可分兩種情況討論：
Ⅰ、W較小時，通過B點且最高只能到達(dá)C點，應(yīng)滿足：
  μmgL＜W≤μmgL+mgR
可得 4J＜W≤24J．
Ⅱ、W較大時，當(dāng)滑塊恰能到達(dá)圓軌道的最高點時的速度為v，應(yīng)滿足
  mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
W=μmgL+2mgR+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 W=54J
綜合Ⅰ、Ⅱ可得，要保證滑塊不能脫離軌道，W應(yīng)滿足下面的條件：4J＜W≤24J或W≥54J．
答：
（1）滑塊不能到達(dá)C點．滑塊能達(dá)到的最大高度h是0.8m．
（2）滑塊第一次到達(dá)圓弧軌道最低點B時對軌道的壓力大小為52N，方向豎直向下．
（3）要保證滑塊不能脫離軌道，W應(yīng)滿足下面的條件：4J＜W≤24J或W≥54J．

點評 本題運用功能關(guān)系和動能定理、牛頓運動定律研究時，關(guān)鍵要抓住滑塊不脫離圓軌道有兩種可能的情況，把握最高點的臨界條件：重力等于向心力．