Question

9．兩個行星的質(zhì)量分別是M₁和M₂，它們繞太陽運行的軌道半徑分別等于R₁和R₂，假定它們只受到太陽的作用，求它們所受的向心力的比和運行周期的比各等于多少？

Answer 1

分析 行星的向心力與萬有引力提供，故向心力之比即為萬有引力之比；由萬有引力提供向心力公式可求得周期的表達(dá)式，從而求出周期的比值．

解答 解：行星受到的萬有引力F=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$；
兩個行星的質(zhì)量分別是M₁和M₂，它們繞太陽運行的軌道半徑分別等于R₁和R₂，
而行星的萬有引力充當(dāng)向心力，故向心力之比為：$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$=$\frac{\frac{G{MM}_{1}}{{R}_{1}^{2}}}{\frac{G{MM}_{2}}{{R}_{2}^{2}}}$=$\frac{{{M}_{1}R}_{2}^{2}}{{{M}_{2}R}_{1}^{2}}$；
由萬有引力充當(dāng)向心力可得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=$\frac{m{•4π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得：T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$
故運行周期的比值為：$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{R}_{1}^{3}}{{R}_{2}^{3}}}$；
答：它們所受的向心力的比和運行周期的比各等于$\frac{{{M}_{1}R}_{2}^{2}}{{{M}_{2}R}_{1}^{2}}$和$\sqrt{\frac{{R}_{1}^{3}}{{R}_{2}^{3}}}$．

點評 在天體的運動中應(yīng)抓住萬有引力充當(dāng)向心力這一條主線進(jìn)行分析，再選擇向心力的不同表達(dá)式可得出對應(yīng)的物理量．