Question

10．如圖所示，半徑R=0.8m的光滑絕緣導軌固定于豎直平面內，加上某一水平方向的勻強電場時，帶正電的小球沿軌道內側做圓周運動，它的電量q=1.00×10^-7C．圓心O與A點的連線與豎直成一角度θ，在A點時小球對軌道的壓力N=1.2N，此時小球的動能最大．若小球的最大動能比最小動能多0.32J，且小球能夠到達軌道上的任意一點（不計空氣阻力，g取10m/s²）．則：
（1）小球的最小動能是多少？
（2）小球受到重力和電場力的合力是多少？
（3）現小球在動能最小的位置突然撤去軌道，并保持其他量都不變，若小球在0.4s后的動能與它在A點時的動能相等，求小球的質量和電場強度．

Answer 1

分析 （1）（2）帶電小球沿軌道內側做圓周運動，受到重力和電場力作用，其合力是恒力，當合力沿OA連線向下時，小球通過A點時動能最大，通過關于O點對稱的B點時動能最小．根據動能定理研究小球從B運動到A點的過程，求出重力與電場力的合力大小．根據牛頓第二定律和動能的計算式求出A點的動能，再求出小球的最小動能；
（3）在B點撤去軌道后，小球將做類平拋運動，由題，小球經0.02s時，其動能與在A點時的動能相等，說明小球經0.04s時偏轉量等于2R，由位移公式和牛頓第二定律結合求出質量

解答 解：（1）、（2）小球在電場和重力場的復合場中運動，因為小球在A點具有最大動能，所以復合場的方向由O指向A，在AO延長線與圓的交點B處小球具有最小動能E_kB．設小球在復合場中所受的合力為F，則有：$N-F=m\frac{v_A^2}{R}$     
即：$1.2-F=m\frac{v_A^2}{0.8}=\frac{{{E_{kA}}}}{0.4}$
帶電小球由A運動到B的過程中，重力和電場力的合力做功，根據動能定理有：
-F•2R=E_KB-E_KA=-0.32   
由此可得：F=0.2N，E_KB=0.8J    
即小球的最小動能為0.8J，重力和電場力的合力為0.2N．
（3）帶電小球在B處時撤去軌道后，小球做類平拋運動，即在BA方向上做初速度為零的勻加速運動，在垂直于BA方向上做勻速運動．設小球的質量為m，則：
在BA方向上做初速度為零的勻加速運動，有：
2R=$\frac{1}{2}$$\frac{F}{m}$t² 
得：m=$\frac{Ft2}{4R}$=0.01kg  
由幾何關系有：$cosθ=\frac{mg}{F}=\frac{1}{2}$     
故：θ=60⁰    
在垂直于BA方向上做勻速運動，有：Eq=Fsinθ         
解得：E=$\sqrt{3}×{10}^{6}N/C$，方向水平向左  
答：（1）小球的最小動能是0.8J；
（2）小球受到重力和電場力的合力是20N；
（3）小球的質量為0.01kg．電場強度為$\sqrt{3}×{10}^{6}N/C$ 方向水平向左

點評 本題可以運用豎直平面內繩子系住的小球運動進行類比，A相當于物理的最低點，B相當于物理的最高點