Question

15．如圖所示為了檢驗(yàn)?zāi)撤N防護(hù)罩承受沖擊力的裝置示意圖M是半徑R=2.0m固定于豎直平面內(nèi)的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道，軌道上端切線水平，N為待檢驗(yàn)的固定曲面，其在豎直面內(nèi)的截面是半徑r=$\sqrt{3}$m的$\frac{1}{4}$圓弧，圓心恰好位于M軌道頂端處，在M軌道下端相切處放置勁度系數(shù)很大的彈簧搶，利用它可發(fā)射質(zhì)量均為m=0.01kg的小鋼珠，取g=10m/s²．
（1）要使發(fā)射出的鋼珠經(jīng)過M軌道頂端時對軌道壓力不超過5mg，彈簧彈性勢能E_P的取值范圍？
（2）在出射速度不同的鋼珠中能否找到這樣的特殊鋼珠，它經(jīng)過M頂端后飛出，垂直打到曲面N上？并說明理由．
（3）從M軌道頂端飛出后的鋼珠，落到圓弧N上時的動能最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）鋼球在M軌道頂端時，由合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列方程求解鋼珠經(jīng)過最高點(diǎn)時的速度，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解彈簧彈性勢能E_P的取值范圍；
（2）根據(jù)平拋運(yùn)動的推論：速度的反向延長線交水平位移的中點(diǎn)，分析鋼球能否垂直打到曲面N上．
（3）根據(jù)動能定理和平拋運(yùn)動的規(guī)律得到落到圓弧N上時的動能與下落高度的關(guān)系，再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識求解．

解答 解：（1）設(shè)鋼珠經(jīng)過M軌道頂端時對軌道壓力為5mg時速度為v．在最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：
N+mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由題有：N=5mg
可得：v=2$\sqrt{30}$m/s
這種情況下，彈簧彈性勢能為：
E_P1=mgR+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：E_P1=0.8J
當(dāng)鋼珠沿軌道恰好能經(jīng)過M軌道頂端時速度為v′，則有：
mg=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$
這種情況下，彈簧彈性勢能為：
E_P2=mgR+$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
解得：E_P2=0.5J
所以彈簧彈性勢能E_P的取值范圍為：0.5J≤E_P≤0.8J．
（2）根據(jù)平拋運(yùn)動的推論知，速度的反向延長線交水平位移的中點(diǎn)，可知經(jīng)過M頂端的鋼球，打到曲面N上速度的反向延長線不可能通過M的上端點(diǎn)，則不可能垂直于打到曲面N上．
（3）設(shè)速度為v₀的鋼珠從M軌道頂端飛出后，落到圓弧N上時坐標(biāo)為（x，y），動能為E_k．
根據(jù)動能定理得：mgy=E_k-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律有：x=v₀t，y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
得：v₀=x$\sqrt{\frac{g}{2y}}$
聯(lián)立得：E_k=$\frac{mg}{4}$（$\frac{{r}^{2}}{y}$+3y）
根據(jù)數(shù)學(xué)知識可知，當(dāng)$\frac{{r}^{2}}{y}$=3y，即y=1m，E_k有最小值，且最小值為：E_kmin=0.15J
答：（1）要使發(fā)射出的鋼珠經(jīng)過M軌道頂端時對軌道壓力不超過5mg，彈簧彈性勢能E_P的取值范圍是0.5J≤E_P≤0.8J．
（2）鋼珠經(jīng)過M頂端后飛出不會垂直打到曲面N上．
（3）從M軌道頂端飛出后的鋼珠，落到圓弧N上時的動能最小值是0.15J．

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵要把握隱含的臨界條件，學(xué)會運(yùn)用函數(shù)法求解物理的最小值，即運(yùn)用動能定律、平拋運(yùn)動的規(guī)律得到動能表達(dá)式，再由數(shù)學(xué)知識求動能的最小值．解題