Question

20．如圖所示，質(zhì)量為1千克的小球沿光滑的水平面沖上一個光滑的半圓形軌道，軌道半徑 R為1m，小球在軌道的最高點對軌道的壓力剛好為零．重力加速度取10m/s²，問：
（1）小球離開軌道落到距地面R高處時，小球水平位移是多少？
（2）小球落地時速度為多大？

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)小球在最高點時與軌道間的壓力為零，可求得此時小球的速度，在結合平拋運動的知識，即可求得小球離開軌道落到距地面R高處時，小球水平位移．
（2）小球從最高點平拋至落地的過程中，只有重力做功，機械能守恒，由此可解得小球落地時的速度．

解答 解：（1）小球離開最高點后做平拋運動，在最高點時，重力提供向心力，設此時小球的速度為v₀，有：mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：v₀=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×1}$=$\sqrt{10}$m/s
小球離開軌道落到距地面R高處時，豎直方向上的位移為R，設時間為t，有：
豎直方向有：R=$\frac{1}{2}$gt²…①
水平方向有：x=v₀t…②
聯(lián)立①②并代入數(shù)據(jù)解得：x=$\sqrt{2}$m
（2）小球從最高點到落地的過程中，機械能守恒，設落地速度大小為v，有：
mg×2R+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v=5$\sqrt{2}$m/s
答：（1）小球離開軌道落到距地面R高處時，小球水平位移是$\sqrt{2}$m．
（2）小球落地時速度大小為5$\sqrt{2}$m/s

點評 解答該題首先要明確小球在豎直面內(nèi)做圓周運動時在最高的受力特征及速度的大小的要求，同時要注意兩種模型：
一是繩子模型（豎直面內(nèi)只有外軌道的情況也屬于繩子模型），此模型在最到點時的最小速度為$\sqrt{gR}$，此時與繩子和外軌道沒有相互作用力．
二是輕桿的模型（豎直面只有內(nèi)軌道也屬于輕桿模型），此模型在最到點時的最小速度為0，此時與輕桿和內(nèi)軌道沒有相互作用力．
再者就是注意機械能守恒的條件，是只有重力和彈力做功時，機械能守恒，并能熟練的應用機械能的守恒進行相關的分析和計算．