Question

3．如圖，一正方形薄板ABCD的邊長為R，薄板上固定一個以正方形的邊長為半徑的四分之一光滑圓環(huán)，薄板靠在與水平地面夾角為θ的墻壁上，建立三維直角坐標(biāo)系，oz為豎直軸，xOy為水平地面．置于地面上的彈簧槍槍口與AB邊的距離為d，彈簧槍發(fā)射處的小球沿水平地面上運動一段距離d后，從A處開始沿著圓環(huán)內(nèi)側(cè)沖上薄板，最后從圓環(huán)的最高點C水平飛出后落在放置于y軸某處的小桶Q內(nèi)．已知小球與地面和薄板間的動摩擦因數(shù)均為μ，不計小球在拐角A處的機械能損失．求：
（1）小球能沖上斜面時，其最小發(fā)射速度v₀
（2）小球能掉入小桶內(nèi)，小桶Q的坐標(biāo)值y_Q
（3）小球能掉入小桶內(nèi)，彈簧槍必須具備的最小彈性勢能E_P．

Answer 1

分析 （1）從小球被從槍口射出到進入斜面，由動能定理可得最小發(fā)射速度v₀．
（2）小球在軌道上運動的時候，相當(dāng)于繩模型，由此可得最高點C的最小速度，在C點小球做平拋，結(jié)合平拋規(guī)律，可以解得小球平拋水平位移，此位移為小桶坐標(biāo)的最小值．
（3）由小球在C點的最小速度，結(jié)合全過程的動能定律和功能關(guān)系可得彈簧槍必須具備的最小彈性勢能E_P．

解答 解：（1）小球剛到斜面速度為零，此時發(fā)射速度最小，此過程摩擦力做功，由動能定理可得：
$-μmgd=-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，
解得：${v}_{0}=\sqrt{2μgd}$．
（2）小球在斜面軌道上運動時，在C點受力如圖：

重力的分力提供向心力的時候，小球向心力為最小值，由此可得：
$mgsinθ=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得：
${v}_{C}=\sqrt{gRsinθ}$，
C點之后小球做平拋運動，設(shè)桶到C的水平距離為X，由平拋規(guī)律可得：
$Rsinθ=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
X=v_Ct，
解得：
$X=\sqrt{2}Rsinθ$，
故可知小球能掉入小桶內(nèi)，小桶Q的坐標(biāo)值最小為：
${y}_{Q}=R+X=R+\sqrt{2}Rsinθ$，
故可知小球能掉入小桶內(nèi)，小桶Q的坐標(biāo)值為：
${y}_{Q}≥R+\sqrt{2}Rsinθ$．
（3）小球在C點速度最小時，發(fā)射時彈簧槍的彈性勢能最小，對發(fā)射到C整個過程：
${W}_{彈}-mgRsinθ-{W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
彈力做的功等于彈性勢能的多少：
W_彈=E_P，
水平面和斜面摩擦力做功為：
${W}_{f}={f}_{1}{s}_{1}+{f}_{2}{s}_{2}=μmgd+μmgcosθ•\frac{πR}{2}$，
解得：
${E}_{P}=（\frac{3}{2}sinθ+\frac{μπ}{2}cosθ）mgR+μmgd$．
答：（1）小球能沖上斜面時，其最小發(fā)射速度$\sqrt{2μgd}$．
（2）小球能掉入小桶內(nèi)，小桶Q的坐標(biāo)值${y}_{Q}≥R+\sqrt{2}Rsinθ$．
（3）小球能掉入小桶內(nèi)，彈簧槍必須具備的最小彈性勢能$（\frac{3}{2}sinθ+\frac{μπ}{2}cosθ）mgR+μmgd$．

點評 該題關(guān)鍵是要建立好物理模型，此題突破口在對斜面軌道的處理上，首先要能分析這是個繩模型，會求繩模型最高點的最小速度；其次要有全局觀念，彈簧槍必須具備的最小彈性勢能，對應(yīng)C點最小速度．