Question

10．如圖，在xOy平面第一象限分布一有界勻強(qiáng)電場，電場方向平行y軸向下，左邊界為y軸，右邊界為x=8l的直線，邊界線與x軸交于M點(diǎn)．在第四象限整個區(qū)域存在勻強(qiáng)磁場，方向垂直紙面向里．一質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子從y軸上P點(diǎn)以初速度v₀垂直y軸射入勻強(qiáng)電場，從x軸上Q點(diǎn)以與x軸正方向45°角進(jìn)入勻強(qiáng)磁場．已知OP=l，不計粒子重力，電場強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B大小未知，問：
（1）O與Q兩點(diǎn)的距離s多大？
（2）改變B，可使粒子從P點(diǎn)到M點(diǎn)時間最短，則最短時間t多大？
（3）要使粒子能第二次進(jìn)入磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍？

Answer 1

分析 （1）粒子在第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動，在x軸方向上做勻速直線運(yùn)動，在y軸方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，已經(jīng)知道在Q點(diǎn)時的速度方向?yàn)?5°，可知此時沿兩個坐標(biāo)軸的速度都是v₀，在x軸和y軸分別列式，可求出OP的距離，從而得到P點(diǎn)的坐標(biāo)
（2）對粒子在第四象限中的運(yùn)動軌道進(jìn)行分析，找到臨界狀態(tài)，即軌道恰好與y軸相切為軌道的最大半徑，結(jié)合洛倫茲力做向心力的公式可求出此時的磁感應(yīng)強(qiáng)度，該磁感應(yīng)強(qiáng)度為最小值，從而可表示出磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍．
（3）首先要分析粒子恰能第二次進(jìn)入磁場的軌跡，畫出軌跡圖，結(jié)合軌跡圖可求出CQ之間的距離，由幾何關(guān)系再求出在第四象限內(nèi)運(yùn)動軌道的半徑，結(jié)合洛倫茲力做向心力的公式可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值，從而可得磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍

解答 解：（1）設(shè)粒子進(jìn)入電場時y方向的速度為v_y
v_y=v₀tan45°①
設(shè)粒子從P到Q的時間為t₁，則由類平拋得s=v₀t₁②
$l=\frac{v_y}{2}{t_1}$③
解得 s=2l    ④
（2）從P點(diǎn)到M點(diǎn)時間最短的軌跡如圖所示，

設(shè)軌跡半徑為r，
s+$\sqrt{2}$r=8l                     ⑤
粒子在磁場中的時間
t₂=$\frac{T}{4}$⑥
又T=$\frac{2πr}{v}$⑦
粒子從P到Q的時間
t₁=$\frac{2l}{v_0}$⑧
又 v=$\sqrt{2}{v_0}$⑨
所以t=t₁+t₂=$（\frac{3π}{2}+2）\frac{l}{v_0}$⑩
（3）要使粒子剛好能第二次進(jìn)入磁場的軌跡如圖．

根據(jù)牛頓第二定律得
qvB₂=$\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$           
又2s+$\sqrt{2}$r₂=8l             
解得：B=$\frac{{m{v_0}}}{2ql}$
要使粒子能第二次進(jìn)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的范圍
B＞$\frac{{m{v_0}}}{2ql}$
答：（1）O與Q兩點(diǎn)的距離s為2l；
（2）改變B，可使粒子從P點(diǎn)到M點(diǎn)時間最短，則最短時間t為$（\frac{3π}{2}+2）\frac{l}{v_0}$；
（3）要使粒子能第二次進(jìn)入磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的B＞$\frac{{m{v_0}}}{2ql}$

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在電場和磁場中的運(yùn)動規(guī)律應(yīng)用，要注意明確在電場中時一般根據(jù)類平拋運(yùn)動規(guī)律和功能關(guān)系分析求解；而在磁場中時一般做圓周運(yùn)動，根據(jù)洛倫茲力充當(dāng)向心力進(jìn)行求解，注意幾何關(guān)系的正確應(yīng)用．