Question

如圖所示，宇航員站在某質(zhì)量分布均勻的星球表面一斜坡上的P點(diǎn)沿水平方向以初速度υ₀拋出一個(gè)小球，測得小球經(jīng)時(shí)間t落到斜坡上另一點(diǎn)Q，斜面的傾角為θ，已知該星球半徑為R，萬有引力常量為G，求：
（1）該星球表面的重力加速度g；
（2）該星球的第一宇宙速度υ；
（3）人造衛(wèi)星在該星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最小周期T．

Answer 1

分析：（1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，水平位移x=υ₀t，豎直位移y=

1

2

gt2，再根據(jù)幾何關(guān)系即可求得該星球表面的重力加速度g；
（2）該星球的近地衛(wèi)星的向心力由萬有引力提供，該星球表面物體所受重力等于萬有引力，聯(lián)立方程即可求出該星球的第一宇宙速度υ；
（3）人造衛(wèi)星的向心力由萬有引力提供，當(dāng)運(yùn)動(dòng)半徑即為該星球半徑時(shí)，周期最小．

解答：解：（1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，水平位移x=υ₀t，豎直位移y=

1

2

gt2
由位移關(guān)系得：tanθ=

y

x

=

1 2 gt2

υ0t

，g=

2υ0tanθ

t

（2）該星球的近地衛(wèi)星的向心力由萬有引力提供

GMm

R2

=m

υ2

R

①
該星球表面物體所受重力等于萬有引力，

GMm

R2

=mg②
由①②得υ=

gR

=

2υ0Rtanθ t

（3）人造衛(wèi)星的向心力由萬有引力提供

GMm

r2

=m

4π2

T2

r，T=

4π2r3 GM

=

4π2r3 gR2

當(dāng)r=R時(shí)，T最小，T=

4π2R g

=

4π2Rt 2υ0tanθ

=

2π2Rt υ0tanθ

答：（1）該星球表面的重力加速度g為

2υ0tanθ

t

；
（2）該星球的第一宇宙速度υ為

2υ0Rtanθ t

；
（3）人造衛(wèi)星在該星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最小周期T為

2π2Rt υ0tanθ

．

點(diǎn)評：該題主要考查了平拋運(yùn)動(dòng)及圓周運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識，要求同學(xué)們能熟練掌握平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式及向心力公式，難度適中．