Question

如圖所示，水平地面上方有一絕緣彈性豎直薄檔板，板高h(yuǎn)=3m，與板等高處有一水平放置的小籃筐，筐口中心距擋板s=1m．圖示空間同時存在著勻強(qiáng)磁場和勻強(qiáng)電場，磁場方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T，而勻強(qiáng)電場未在圖中畫出．質(zhì)量m=1×10^-3kg、電量q=-2×10^-3C的帶電小球a（視為質(zhì)點），自擋板下端以某一水平速度v₀開始向左運動，與質(zhì)量相等，靜止不帶電小球b（視為質(zhì)點）發(fā)生彈性碰撞．b球向左側(cè)運動恰能做勻速圓周運動，若b球與檔板相碰后以原速率彈回，且碰撞時間不計，碰撞時電量不變，b小球最后都能從筐口的中心處落入筐中．（g取10m/s²，可能會用到三角函數(shù)值sin37°=0.6，cos37°=0.8）．試求：
（1）碰撞后兩小球速度大小
（2）電場強(qiáng)度的大小與方向；
（3）小球運動的可能最大速率；
（4）b小球運動的可能最長時間．

Answer 1

（1）兩個小球彈性碰撞過程，系統(tǒng)動量守恒、機(jī)械能守恒，有：
m_av₀=m_av₁+m_bv₂

1

2

ma

v

20

=

1

2

ma

v

21

+

1

2

mb

v

22

解得：v₁=0，v₂=v₀
（2）小球做勻速圓周運動，則有：
qE=mg
故有：E=

mg

q

=10N/C
電場方向豎直向下
（2）若小球速率最大，則運動半徑最大，如軌跡①所示：

R

21

=s²+（h-R₁）²
可得：R₁=

5

3

m
由qv₁B=m

v 21

R1

解得：v₁=

qBR1

m

=

5

3

m/s
（3）因為速度方向與半徑垂直，圓心必在擋板所在的豎直線上．

且R≥s=1m
小球與擋板碰撞n次后落入筐中，則有
2nR＜h
?n＜1.5，故n可取0或1才能
保證小球落入筐中
①當(dāng)n=0時，即為（2）問中的解
②當(dāng)n=1時，有
（3R-h）²+s²=R²
可得R₂=1m，運動軌跡如由圖中②所示
或者R₃=

5

4

m，運動軌跡如由圖中③所示
以軌跡③運動，小球所花時間最長，則有：
T=

2πm

qB

=2π
sinθ=

R2

R3

=

4

5

故θ=53°，軌跡③運動對應(yīng)的圓心角α=360°+（180°-53°）=487°
運動最長時間為：
t=

α

360°

T=

974°

360°

π≈8.5s
答：（1）碰撞后a球速度大小為零，b球速度大小為v₀；
（2）電場強(qiáng)度E=10N/C，電場方向豎直向下；
（3）小球運動的可能最大速率為

5

3

m/s；
（4）小球運動的可能最長時間為8.5s．