Question

12．如圖甲所示，兩個帶正電的小球A、B套在一個傾斜的光滑直桿上，兩球均可視為點電荷，其中A球固定，帶電量Q_A=2×10^-4C，B球的質量為m=0.1kg．以A為坐標原點，沿桿向上建立直線坐標系，B球的總勢能隨位置x的變化規(guī)律如圖乙中曲線Ⅰ所示，直線Ⅱ為曲線I的漸近線．圖中M點離A點距離為6米．（g取10m/s²，靜電力恒量k=9.0×10⁹N•m²/C²．）

（1）求桿與水平面的夾角θ；
（2）求B球的帶電量Q_B；
（3）求M點電勢φ_M；
（4）若B球以E_k0=4J的初動能從M點開始沿桿向上滑動，求B球運動過程中離A球的最近距離及此時B球的加速度．

Answer 1

分析 （1）由圖知E_p=mgxsinθ=kx從而的角度θ；
（2）根據(jù)平衡條件和庫侖定律求解電荷
（3）根據(jù)電勢和電勢能關系求解電勢；
（4）根據(jù)能量守恒定律分析B球運動過程中離A球的最近距離．由牛頓運動定律求解B球的加速度a．

解答 解：（1）漸進線Ⅱ表示B的重力勢能隨位置的變化關系，
即E_p=mgxsinθ=kx
則 sinθ=$\frac{k}{mg}$=0.5
即θ=30°；
（2）由圖乙中的曲線Ⅰ知，在x=6m出總勢能最小，動能最大，該位置B受力平衡，則有
  mgsin30°=k$\frac{{Q}_{A}{Q}_{B}}{{x}^{2}}$
即1×$\frac{1}{2}$=9×10⁹×$\frac{2×1{0}^{-4}×{Q}_{B}}{{6}^{2}}$
解得Q_B=1×10^-5C；   
（3）M點的電勢能 E_PM=E_總-E_P=6-3=3J
M點電勢 φ_M=$\frac{{E}_{PM}}{{Q}_{B}}$=$\frac{3}{1×1{0}^{-5}}$=3×10⁵V
（4）在M點B球總勢能為6J，根據(jù)能量守恒定律，當B的動能為零，總勢能為10J
由曲線Ⅰ知B離A的最近距離為x=2m
 k$\frac{{Q}_{A}{Q}_{B}}{{x}^{2}}$-mg=ma
解得a=9×10⁹×$\frac{2×1{0}^{-4}×1×1{0}^{-5}}{0.1×{2}^{2}}$-10=40m/s²，方向沿桿向上；
答：（1）桿與水平面的夾角θ為30°；
（2）B球的帶電量Q_B是1×10^-5C；  
（3）M點電勢φ_M是3×10⁵V；
（4）若B球以E_k0=4J的初動能從M點開始沿桿向上滑動，B球運動過程中離A球的最近距離是2m，此時B球的加速度是40m/s²，方向沿桿向上．

點評 此題考查讀圖能力，注意選擇合適的點，同時要熟練應用牛頓運動定律和能量守恒解題．