Question

一個圓柱形的豎直的井里存有一定量的水，井的側(cè)面和底部是密閉的，在井中固定地插著一根兩端開口的薄壁圓管，管和井共軸，管下端未觸及井底. 在圓管內(nèi)有一不漏氣的活塞，它可沿圓管上下滑動.開始時，管內(nèi)外水面相齊，且活塞恰好接觸水面，如圖所示. 現(xiàn)用卷揚機通過繩子對活塞施加一個向上的力F，使活塞緩慢向上移動，已知管筒半徑＝0.100m，井的半徑＝2，水的密度＝1.00×10³kg/m/³，大氣壓＝1.00×10⁵Pa. 求活塞質(zhì)量，不計摩擦，重力加速度g＝10m/s².）

Answer 1

解：從開始提升到活塞升至內(nèi)外水面高度差為的過程中，活塞始終與管內(nèi)液體接觸。（再提升活塞時，活塞和水面之間將出現(xiàn)真空，另行討論。）設(shè)活塞上升距離為，管外液面下降距離為，

                                                                                                         

因液體體積不變，有：                           

得      

題給H=9m＞h₁，由此可知確實有活塞下面是真空的一段過程。

活塞移動距離從零到h₁的過程中，對于水和活塞這個整體，其機械能的增量應(yīng)等于除重力外其他力所做的功。因為始終無動能，所以機械能的增量也就等于重力勢能增量，即

                                                    

其他力有管內(nèi)、外的大氣壓力和拉力。因為液體不可壓縮，所以管內(nèi)、外大氣壓力做的總功，故外力做功就只是拉力做的功，由功能關(guān)系知

                                                              

即                             

活塞移動距離從到的過程中，液面不變，是恒力，做功

                              

所求拉力F做的總功為