Question

4．香港迪士尼游樂園入口旁有一噴泉，在水泵作用下會從鯨魚模型背部噴出豎直向上的水柱，將站在沖浪板上的米老鼠模型托起，穩(wěn)定地懸停在空中，伴隨著音樂旋律，米老鼠模型能夠上下運(yùn)動，引人駐足，如圖所示．這一景觀可做如下簡化，水柱從橫截面積為S₀的鯨魚背部噴口持續(xù)以速度v₀豎直向上噴出，設(shè)同一高度水柱橫截面上各處水的速率都相同，沖浪板底部為平板且其面積大于水柱的橫截面積，保證所有水都能噴到?jīng)_浪板的底部．水柱沖擊沖浪板前其水平方向的速度可忽略不計(jì)，沖擊沖浪板后，水在豎直方向的速度立即變?yōu)榱�，在水平方向朝四周均勻散開．已知米老鼠模型和沖浪板的總質(zhì)量為M，水的密度為ρ，重力加速度大小為g，空氣阻力及水的粘滯阻力均可忽略不計(jì)，噴水的功率定義為單位時(shí)間內(nèi)噴口噴出的水的動能．
（1）求噴泉噴水的功率P；
（2）試計(jì)算米老鼠模型在空中懸停時(shí)離噴口的高度h；
（3）實(shí)際上，當(dāng)我們仔細(xì)觀察時(shí)，發(fā)現(xiàn)噴出的水柱在空中上升階段并不是粗細(xì)均勻的，而是在豎直方向上一頭粗、一頭細(xì)．請你說明上升階段的水柱是上端較粗還是下端較粗，并說明水柱呈現(xiàn)該形態(tài)的原因．

Answer 1

分析 （1）選擇△m的水為研究對象，結(jié)合動能定理求出噴水時(shí)做功的大小，根據(jù)功率的公式求出噴泉噴水的功率．
（2）根據(jù)速度位移公式得出水到達(dá)米老鼠模型底部的速度，結(jié)合動量定理和平衡求出米老鼠模型在空中懸停時(shí)離噴口的高度h．
（3）抓住噴出的水的流量為定值，結(jié)合速度的變化得出橫截面積的變化．

解答 解：（1）噴泉噴水的功率為：
$P=\frac{△W}{△t}=\frac{{△{E_k}}}{△t}=\frac{{\frac{1}{2}△mv_0^2}}{△t}=\frac{{\frac{1}{2}ρ{S_0}{v_0}△tv_0^2}}{△t}=\frac{1}{2}ρ{S_0}v_0^3$．
（2）以向上為正方向，△t內(nèi)沖擊沖浪板底部的水柱為研究對象，設(shè)碰到?jīng)_浪板時(shí)水的速度大小為v：
F•△t=△p=△m•△v=ρS₀v₀△t•△v=ρS₀v₀△t•（0-v）
所以：F=-ρS₀v₀v
根據(jù)牛頓第三定律：F'=-F=Mg
所以：Mg=ρS₀v₀v得：$v=\frac{Mg}{{ρ{S_0}{v_0}}}$
噴口噴出水后在做豎直上拋運(yùn)動：${v}^{2}-{{v}_{0}}^{2}=-2gh$，
所以：$h=\frac{v_0^2}{2g}-\frac{{{M^2}g}}{{2{ρ^2}S_0^2v_0^2}}$．
（3）從噴口噴出的水的流量Q=S₀v₀是定值，單位時(shí)間出來的水的體積不變Q=S₀v₀=S_iv_i，在v_i在不斷變小時(shí)，橫截面積S_i在不斷增大，因此上升階段的水柱呈現(xiàn)的形態(tài)是上端較粗．
答：（1）噴泉噴水的功率為$\frac{1}{2}ρ{S}_{0}{{v}_{0}}^{3}$；
（2）米老鼠模型在空中懸停時(shí)離噴口的高度為$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g}-\frac{{M}^{2}g}{2{ρ}^{2}{{S}_{0}}^{2}{{v}_{0}}^{2}}$；
（3）上升階段的水柱呈現(xiàn)的形態(tài)是上端較粗，原因是上粗下細(xì)流量上下相同，因此S₀v₀=S'v'，因?yàn)樗�向上的運(yùn)動為勻減速運(yùn)動，因此v₀＞v'，所以S₀＜S'．

點(diǎn)評 本題考查了動量定理、共點(diǎn)力平衡、運(yùn)動學(xué)公式的綜合運(yùn)用，關(guān)鍵能合適地選擇研究對象，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．