Question

事實上，地球圍繞太陽運動的軌道是橢圓，并且太陽處在橢圓的一個焦點上．如圖，已知太陽質量為M，半徑為R，地球在近日點離太陽表面的距離為h₁，速度為v₁，在遠日點地球離太陽表面的距離為h₂，萬有引力常量為G．
求：（1）地球在遠日點的速度為多少？
（2）地球在近日點、遠日點的加速度各為多少？

Answer 1

分析：1、根據(jù)開普勒第二定律：行星與太陽的連線在相等時間內掃過的面積相等，取極短時間△t，根據(jù)“面積”相等列方程得出遠日點時與近日點時的速度比值求解．
2、根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律求解加速度．

解答：解：（1）取極短時間△t，
根據(jù)開普勒第二定律得行星與太陽的連線在相等時間內掃過的面積相等，

1

2

（R+h₁）?v₁?△t=

1

2

（R+h₂）?v₂?△t
得到：v₂=

R+h1

R+h2

v₁
（2）根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律得
地球在近日點：

GMm

(R+h1)2

=ma₁
地球在遠日點：

GMm

(R+h2)2

=ma₂
解得：a₁=

GM

(R+h1)2

     a₂=

GM

(R+h2)2

答：（1）地球在遠日點的速度是

R+h1

R+h2

v₁
（2）地球在近日點加速度為

GM

(R+h1)2

，遠日點的加速度是

GM

(R+h2)2

．

點評：本題考查對開普勒第二定律的理解和應用能力．在極短時間內，行星與太陽連線掃過的范圍近似為三角形．