Question

如圖所示，x軸上方有一勻強磁場，磁感應強度為B，磁場方向垂直于紙面向里．x軸下方有一勻強電場，電場強度為E、方向與y軸的夾角θ=45°斜向上方．現(xiàn)有一質量為m、帶電量為q的正離子，以速度v₀由y軸上的A點沿y軸正方向射入磁場，該離子在磁場中運動一段時間后從x軸上的C點（圖中未畫出）進入電場區(qū)域，離子經C點時的速度方向與電場方向相反．設磁場和電場區(qū)域均足夠大，不計離子的重力，求：
（1）離子從A點出發(fā)到第三次穿過x軸上的D（圖中未畫出）與坐標原點O的距離；
（2）離子從A點出發(fā)到第三次穿越x軸時的運動時間；
（3）離子第四次穿越x軸時速度的大小及速度方向與電場方向的夾角．并大致畫出離子前四次穿越x軸在磁場和電場區(qū)域中的運動軌跡．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)粒子洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運動，結合牛頓第二定律與幾何關系，即可求解；
（2）根據(jù)運動軌跡的幾何關系，來確定圓心角，并結合周期公式與牛頓第二定律、運動學公式，即可求解；
（3）根據(jù)粒子做類平拋運動處理規(guī)律，由運動的分解，并結合運動學公式，即可求解．

解答：解：（1）離子射入磁場中在洛侖茲力作用下做勻速圓周運動，粒子運動軌跡如圖所示．由牛頓第二定律得qvB=m

v02

R

①
設D點到坐標原點O的距離為x_D
由幾何關系得xD=R+Rcos450+

2

R②
由由①②式得xD=(

2+3 2

2

)

mv0

qB

（2）由軌跡圖可知，在磁場中第一次偏轉對應的圓心角為β1=

5π

4

，運動時間為t₁；
第二次偏轉對應的圓心角為β2=

π

2

，運動時間為t₂；
則帶點粒子在磁場運動的時間為t=

β

2π

T③
T=

2πr

v0

④
帶點粒子在電場中做類豎直上拋運動，
設粒子在電場中運動的時間為t₂，有-v₀-v₀=at₂⑤
而a=

qE

m

⑥
離子從A點出發(fā)到第三次穿越x軸時的運動時間t=t₁+t₂+t₃⑦
解③⑦式得t=

7

4

πm

qB

+

2mv0

qE

（3）離子從第三次過x軸到第四次過x軸的過程在電場中做類平拋運動，
設沿著v₀的方向為x′軸，離子沿x′軸做勻速直線運動，
設沿著電場的方向為y′軸，離子沿y′軸做初速為零的勻變速直線運動x₁=v₀t⑧
y1=

vy/

2

t⑨
由圖中幾何關系知 

y1

x1

=tan450⑩
設離子第四次穿越x軸時速度的大小為v，速度方向與電場方向的夾角為α.v=

v 2 0 + v 2 y/

（11）
tanα=

v0

vy/

（12）
由⑤～11式得v=

5

v0
α=arctan

1

2

答：（1）離子從A點出發(fā)到第三次穿過x軸上的D（圖中未畫出）與坐標原點O的距離xD=(

2+3 2

2

)

mv0

qB

；
（2）離子從A點出發(fā)到第三次穿越x軸時的運動時間t=

7

4

πm

qB

+

2mv0

qE

；
（3）離子第四次穿越x軸時速度的大小v=

5

v0及速度方向與電場方向的夾角α=arctan

1

2

．并大致畫出離子前四次穿越x軸在磁場和電場區(qū)域中的運動軌跡如上所示．

點評：考查粒子做勻速圓周運動與類平拋運動，掌握牛頓第二定律與運動學公式，理解圓周運動的半徑公式與周期公式，掌握幾何關系在題中的應用．