Question

12．如圖甲所示，光滑金屬導(dǎo)軌abcdef由水平平行導(dǎo)軌abef和半徑為r的四分之一圓弧導(dǎo)軌bcde組成，兩導(dǎo)軌在b、e處平滑連接，導(dǎo)軌的間距為L，電阻不計(jì)．在軌道的頂端c、d間接有阻值為R的電阻，整個裝置處在豎直向上的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．現(xiàn)有一根長度也為L、質(zhì)量為m且電阻不計(jì)的金屬棒，在水平拉力F作用下從水平軌道的af處由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動，在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動的時(shí)間為t₀；接著通過調(diào)節(jié)拉力使金屬棒沿圓弧做勻速圓周運(yùn)動至cd處，已知金屬棒在af和be之間運(yùn)動時(shí)拉力隨時(shí)間變化的關(guān)系圖象如圖乙所示（其中F₀、t₀為已知量）．求：

（1）金屬棒做勻加速運(yùn)動的加速度大��；
（2）金屬棒沿四分之一圓弧做勻速圓周運(yùn)動的過程中拉力做的功．

Answer 1

分析 （1）金屬棒做勻加速運(yùn)動時(shí)，由牛頓第二定律和安培力的表達(dá)式F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$結(jié)合得到F與t的解析式，結(jié)合圖象的信息求解加速度．
（2）金屬棒沿四分之一圓弧做勻速圓周運(yùn)動，產(chǎn)生正弦式電流，求出電流的有效值，由焦耳定律求解出金屬棒產(chǎn)生的熱量，再由能量守恒定律求解拉力做的功．

解答 解：（1）金屬棒做勻加速直線運(yùn)動，由牛頓第二定律得：
$F-\frac{{{B^2}{L^2}v}}{R}=ma$，
即 $F=ma+\frac{{{B^2}{L^2}a}}{R}t$
由圖象可知，運(yùn)動的時(shí)間為t₀時(shí)，F(xiàn)=F₀
代入解得：$a=\frac{{{F_0}R}}{{{B^2}{L^2}{t_0}+mR}}$
（2）金屬棒沿四分之一圓弧做勻速圓周運(yùn)動，經(jīng)過時(shí)間t，感應(yīng)電流 $I=\frac{BLv}{R}cos\frac{v}{r}t$，且v=at₀
則此過程中電路產(chǎn)生的焦耳熱為：$Q={（\frac{BLv}{{\sqrt{2}R}}）^2}•R•\frac{πr}{2v}=\frac{{πr{B^2}{L^2}a{t_0}}}{4R}$
由能量守恒得：$W=mgr+\frac{{πr{B^2}{L^2}a{t_0}}}{4R}=mgr+\frac{{πr{B^2}{L^2}{F_0}{t_0}}}{{4（{B^2}{L^2}{t_0}+mR）}}$．
答：（1）金屬棒做勻加速運(yùn)動的加速度大小為$\frac{{F}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}{t}_{0}+mR}$；
（2）金屬棒沿四分之一圓弧做勻速圓周運(yùn)動的過程中拉力做的功為mgr+$\frac{πr{B}^{2}{L}^{2}{F}_{0}{t}_{0}}{4（{B}^{2}{L}^{2}{t}_{0}+mR）}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是判斷出回路中產(chǎn)生的是正弦式交變電流，相當(dāng)于線圈在磁場中轉(zhuǎn)動時(shí)單邊切割磁感線，要用有效值求解熱量．