Question

1．如圖所示為某種彈射小球的游戲裝置，水平面上固定一輕質彈簧及長度可調節(jié)的豎直管AB．細管下端接有一小段長度不計的圓滑彎管，上端B與四分之一圓弧彎管BC相接，每次彈射前，推動小球將彈簧壓縮到同一位置后鎖定．解除鎖定，小球即被彈簧彈出，水平射進細管A端，再沿管ABC從C端水平射出．已知彎管BC的半徑R=0.30m，小球的質量為m=50g，當調節(jié)豎直細管AB的長度L至L₀=0.90m時，發(fā)現(xiàn)小球恰好能過管口C端．不計小球運動過程中的機械能損失．

（1）求每次彈射時彈簧對小球所做的功W；
（2）當L取多大時，小球落至水平面的位置離直管AB最遠？
（3）調節(jié)L時，小球到達管口C時管壁對球的作用力F_N也相應變化，考慮到游戲裝置的實際情況，L不能小于0.15m，請在答題卷的坐標紙上作出F_N隨長度L變化的關系圖線．（取管壁對球的作用力F_N方向向上為正，并要求在縱軸上標上必要的刻度值．）

Answer 1

分析 （1）小球恰好能過管口C端，可知小球在C點的臨界速度為0，根據(jù)動能定理求得小球彈射時彈簧對小球做的功；
（2）小球離開C點做平拋運動，根據(jù)小球射程公式求出小球射程與L的關系，由數(shù)學關系式求射程最大時對應L的數(shù)值；
（3）小球通過C時臨界速度為$\sqrt{gR}$時，小球對管道壁沒有作用力，大于臨界速度時對上管壁有壓力，小球臨界速度時對下管壁有壓力，根據(jù)動能定理求出經過C點的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出管壁對球的作用力與長度L的關系．

解答 解：（1）小球恰好能到達管口C時說明小球到達C時速度恰好為零，故小球在彈射至上升到管口C的過程中只有重力和彈簧對小球做功，根據(jù)動能定理有：
W+W_G=0-0
所以彈簧對小球做的功W=-W_G=$mg（{L}_{0}+R）=50×1{0}^{-3}×10×（0.9+0.3）J$=0.6J
（2）小球離開C點做平拋運動，小球落地至水平面位置離直管AB最遠時，也就是小球的射程最大，則根據(jù)動能定理令時時管長為L，則
要根據(jù)動能定理有：$W-mg（L+R）=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-0$
可得${v}_{C}=\sqrt{\frac{2【W-mg（L+R）】}{m}}$
所以小球離開C點做平拋運動的射程
x=${v}_{C}\sqrt{\frac{2（R+L）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2[W-mg（L+R）]}{m}•\frac{2（R+L）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2[0.6-0.05×10×（L+0.3）]}{0.05}×\frac{2（0.3+L）}{10}}$
由數(shù)學關系知，當L=0.3m時，x有最大值2.08m
由于小球從C點開始平拋，故小離落地點離AB管最遠距離為2.38m；
（3）小球到達C點時的速度${v}_{C}=\sqrt{\frac{2【W-mg（L+R）】}{m}}$，取向上為正方向則在豎直方向上的合力提供小球在C點圓周運動的向心力：
$mg-{F}_{N}=m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
可得${F}_{N}=mg-m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$=$\frac{10L}{3}-\frac{5}{2}$（0.15≤L≤0.9）
由此作出F_N-L圖象有：

答：（1）求每次彈射時彈簧對小球所做的功W為0.6J；
（2）當L取0.3m時，小球落至水平面的位置離直管AB最遠；
（3）調節(jié)L時，小球到達管口C時管壁對球的作用力F_N也相應變化，考慮到游戲裝置的實際情況，L不能小于0.15m，請在答題卷的坐標紙上作出F_N隨長度L變化的關系圖線．

點評 本題考查了圓周運動最高點的動力學方程和平拋運動規(guī)律，掌握小球能過最高點的臨界條件，注意掌握過最高點時的繩球模型和桿球模型臨界條件的不同．