Question

19．如圖所示，從地面上A點以速度v發(fā)射一枚遠程彈道導彈，僅在引力作用下沿ACB橢圓軌道飛行后擊中地面目標B，C為軌道的遠地點，距地面高度為h．已知地球半徑為R，地球質量為M，引力常量為G．且距地面高度為h的圓軌道上衛(wèi)星運動周期為T₀．下列結論正確的（　�。�

• A． 導彈在C點的加速度等于$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$
• B． 導彈在C點的速度大于$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$
• C． 導彈到達B點時的速率為v
• D． 導彈從A點運動到B點的時間可能大于T₀

Answer 1

分析 距地面高度為h的圓軌道上衛(wèi)星的速度，根據(jù)牛頓第二定律得到其運動速度為$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$．C為軌道的遠地點，導彈在C點的速度小于$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$．由牛頓第二定律求解導彈在C點的加速度．由開普勒第三定律分析導彈的運動時間與T₀的關系．

解答 解：A、由牛頓第二定律得：$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=ma$，得導彈在C點的加速度為a=$G\frac{M}{{（R+h）}^{2}}$．故A正確．
B、設距地面高度為h的圓軌道上衛(wèi)星的速度為v，則由牛頓第二定律得：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$，得到：v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$．導彈在C點只有減速才能進入衛(wèi)星的軌道，所以導彈在C點的速度小于$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$．故B錯誤．
C、根據(jù)機械能守恒可知，B點速度與發(fā)射速度相等，即為v．故C正確．
D、設導彈運動的周期為T，由于導彈的半長軸小于衛(wèi)星的軌道半徑R+h，根據(jù)開普勒第三定律知道：導彈運動的周期T＜T₀，則導彈從A點運動到B點的時間一定小于T₀．故D錯誤．
故選：AC

點評 本題運用牛頓第二定律、開普勒定律分析導彈與衛(wèi)星運動問題．比較C在點的速度大小，可以結合衛(wèi)星變軌知識來理解．