Question

16．宇航員駕駛宇宙飛船到達(dá)月球，他在月球表面做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)：在離月球表面高度為h處，將一小球以初速度v₀水平拋出，水平射程為x．已知月球的半徑為R，萬有引力常量為G．不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響．求：
（1）月球表面的重力加速度大小g₀；
（2）月球的質(zhì)量M；
（3）飛船在近月圓軌道繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度v．

Answer 1

分析 （1）物體做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分運(yùn)動(dòng)公式列式求解重力加速度；
（2）在月球表面，不計(jì)月球自傳時(shí)，重力等于萬有引力，列式求解即可；
（3）飛船在近月圓軌道繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力提供向心力，列式求解即可．

解答 解：（1）設(shè)飛船質(zhì)量為m，設(shè)小球落地時(shí)間為t，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律
水平方向：x=v₀t         
豎直方向：h=$\frac{1}{2}{g}_{0}{t}^{2}$      
解得：${g}_{0}=\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{x}^{2}}$            
（2）在月球表面忽略地球自轉(zhuǎn)時(shí)有：$G\frac{Mm}{R^2}=m{g_0}$
解得月球質(zhì)量：$M=\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{{x}^{2}G}$          
（3）由萬有引力定律和牛頓第二定律：$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R}$
解得：v=$\frac{{v}_{0}}{x}\sqrt{2hR}$
答：（1）月球表面的重力加速度大小為$\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{x}^{2}}$；
（2）月球的質(zhì)量M為$\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{{x}^{2}G}$；
（3）飛船在近月圓軌道繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度v為$\frac{{v}_{0}}{x}\sqrt{2hR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題首先要通過平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求解月球表面的重力加速度，然后結(jié)合月球表面的重力等于萬有引力、萬有引力提供衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)的向心力列式分析，不難．