Question

11．如圖所示的xoy坐標(biāo)系中，x軸上方，y軸與MN之間區(qū)域內(nèi)有沿x軸正向的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)的大小E₁=1.5×10⁵N/C；x軸上方，MN右側(cè)足夠大的區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.2T．在原點(diǎn)O處有一粒子源，沿紙面向電場中各方向均勻地射出速率均為v₀=1.0×10⁶m/s的某種帶正電粒子，粒子質(zhì)量m=6.4×10^-27kg，電荷量q=3.2×10^-19C，粒子可以無阻礙地通過邊界MN進(jìn)入磁場．已知ON=0.2m．不計(jì)粒子的重力，圖中MN與y軸平行．求：
（1）粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大��；
（2）求在電場中運(yùn)動時(shí)間最長的粒子射出后第一次到達(dá)坐標(biāo)軸時(shí)的坐標(biāo)；
（3）若在MN右側(cè)磁場空間內(nèi)加一在xoy平面內(nèi)的勻強(qiáng)電場E₂，某一粒子從MN上的P點(diǎn)進(jìn)入復(fù)合場中運(yùn)動，先后經(jīng)過了A（0.5m，y_A）、C（0.3m，y_c）兩點(diǎn)，如圖所示，粒子在A點(diǎn)的動能等于粒子在O點(diǎn)動能的7倍，粒子在C點(diǎn)的動能等于粒子在O點(diǎn)動能的5倍，求所加電場強(qiáng)度E₂的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）粒子先在電場中加速運(yùn)動，由動能定理求解加速后的速度，即粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大�。�
（2）在電場中運(yùn)動時(shí)間最長的粒子沿+y軸出發(fā)作類平拋運(yùn)動，后從Q點(diǎn)進(jìn)入磁場，進(jìn)入磁場的方向與NM的夾角為θ，由類平拋運(yùn)動的規(guī)律求出θ．由牛頓第二定律和分位移公式、幾何關(guān)系結(jié)合求解．
（3）設(shè)A點(diǎn)的電勢為U_A，C點(diǎn)的電勢為U_C，取P點(diǎn)零電勢點(diǎn)，由動能定理求得U_A、U_C與動能的關(guān)系，由電場的特性和幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）由動能定理得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=qE•\overline{ON}$
代入數(shù)據(jù)解得：v=2×10⁶m/s
（2）粒子在磁場中，由$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：r=0.2m
在電場中運(yùn)動時(shí)間最長的粒子沿+y軸出發(fā)作類平拋運(yùn)動，后從Q點(diǎn)進(jìn)入磁場，進(jìn)入磁場的方向與NM的夾角為θ，由類平拋運(yùn)動的規(guī)律得：$cosθ=\frac{{v}_{0}}{v}$=$\frac{1×1{0}^{6}}{2×1{0}^{6}}=\frac{1}{2}$，則θ=60°
粒子在磁場中作勻速圓周運(yùn)動從T點(diǎn)回到電場，由對稱規(guī)律可得將在H點(diǎn)第一次與y軸相切，軌跡如圖．對于O到Q的類平拋運(yùn)動，有：
NQ=v₀t
ON=$\frac{1}{2}$at²
由牛頓第二定律得 qE₁=ma
聯(lián)立解得：NQ=$\frac{0.4\sqrt{3}}{3}$m
弦長：QT=2rsinθ=$0.2\sqrt{3}$m
所以：y_H=2 NQ+QT
解得：y_H=$\frac{1.4\sqrt{3}}{3}$m
（3）粒子從P點(diǎn)進(jìn)入磁場時(shí)的動能為：${E}_{kP}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=4{E}_{k0}$
MN右側(cè)磁場空間內(nèi)加一在xoy平面內(nèi)的勻強(qiáng)電場后，設(shè)A點(diǎn)的電勢為U_A，C點(diǎn)的電勢為U_C，取P點(diǎn)零電勢點(diǎn)，則由動能定理得：

q（U_P-U_A）=E_kA-E_kPq（U_P-U_C）=E_kC-E_kP
解得：${U}_{A}=-\frac{3{E}_{k0}}{q}$，${U}_{C}=-\frac{{E}_{k0}}{q}$
在AP連線上取一點(diǎn)D，設(shè)$\overline{PA}=3\overline{PD}$，則由勻強(qiáng)電場特性可知 U_P-U_A=3（U_P-U_D）
由幾何知識可得：x_A-x_P=3（x_D-x_P）
解得：${U}_{D}=-\frac{{E}_{k0}}{q}={U}_{C}$，x_D=0.3m=x_C，即x坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)為等勢點(diǎn)，A點(diǎn)電勢低于P點(diǎn)的電勢，所加電場沿x軸正方向
則有：U_P-U_C=E₂（x_C-x_P）
聯(lián)立以上各式并代入數(shù)據(jù)解得：${E}_{2}=1.0×1{0}^{5}$N/C
答：
（1）粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小是2×10⁶m/s；
（2）在電場中運(yùn)動時(shí)間最長的粒子射出后第一次到達(dá)坐標(biāo)軸時(shí)的坐標(biāo)是$\frac{1.4\sqrt{3}}{3}$m；
（3）所加電場強(qiáng)度E₂的大小為1.0×10⁵N/C，方向沿x軸正方向．

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在電場中和磁場中的運(yùn)動，理清粒子的運(yùn)動規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，處理粒子在磁場中運(yùn)動問題，要會確定粒子做圓周運(yùn)動的圓心、半徑和圓心角．