Question

宇航員到了某星球后做了如下實(shí)驗(yàn)：如圖所示，在光滑的圓錐頂用長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線懸掛一質(zhì)量為m的小球，圓錐頂角2θ．當(dāng)圓錐和球一起以周期T勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，球恰好對(duì)錐面無壓力．已知星球的半徑為R，萬有引力常量為G．求：
（1）線的拉力；
（2）該星球表面的重力加速度；
（3）該星球的第一宇宙速度；
（4）該星球的密度．

Answer 1

分析：1、小球做圓周運(yùn)動(dòng)的線的向心力是由線的拉力在水平方向的分力提供的 Fsinθ=m

4π2

T2

r，又因?yàn)榘霃絩=Lsinθ，可解得線的拉力F．
2、線的拉力在豎直方向的分力與重力平衡，即Fcosθ=mg_星，化簡(jiǎn)可得該星球表面的重力加速度．
3、第一宇宙速度就是近地衛(wèi)星的運(yùn)行速度，此時(shí)重力提供向心力m′g星=m′

v2

R

，化簡(jiǎn)可得該星球的第一宇宙速度．
4、在該星球表面上物體受到的重力等于萬有引力mg星=G

Mm

R2

，又因?yàn)?span id="f3ptphp" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">M=ρ?

4

3

πR3，化簡(jiǎn)可得該星球的密度．

解答：解：（1）小球做圓周運(yùn)動(dòng)，線的拉力在水平方向的分力提供向心力 Fsinθ=m

4π2

T2

r
又因?yàn)榘霃絩=Lsinθ
解得線的拉力F=m

4π2

T2

L
（2）線的拉力在豎直方向的分力與重力平衡，即Fcosθ=mg_星
解得該星球表面的重力加速度g星=

Fcosθ

m

=

4π2

T2

Lcosθ
（3）星球的第一宇宙速度即為該星球的近“地”衛(wèi)星的環(huán)繞速度v，設(shè)近“地”衛(wèi)星的質(zhì)量為m′，根據(jù)向心力公式有：
m′g星=m′

v2

R

解得v=

2π

T

RLcosθ

（4）設(shè)星球的質(zhì)量為M，星球表面的物體的重力等于萬有引力有
mg星=G

Mm

R2

又因?yàn)?span id="ndhrh75" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">M=ρ?

4

3

πR3
解得星球的密度ρ=

3πLcosθ

GRT2

答：（1）線的拉力為m

4π2

T2

L；（2）該星球表面的重力加速度為

4π2

T2

Lcosθ；（3）該星球的第一宇宙速度為

2π

T

RLcosθ

；（4）該星球的密度為

3πLcosθ

GRT2

．

點(diǎn)評(píng)：本題把牛頓第二定律、萬有引力定律、勻速圓周運(yùn)動(dòng)等知識(shí)綜合了起來，有一定的難度．要求能夠進(jìn)行正確的受力分析，搞清楚什么力提供向心力，這是解題的關(guān)鍵．