Question

17．如圖所示，MN、PQ為間距L=0.5m足夠長的平行導軌，NQ⊥MN．導軌平面與水平面間的夾角θ=37°，NQ間連接有一個R=5Ω的電阻．有一勻強磁場垂直于導軌平面，磁感應強度為B₀=1T．將一根質量為m=0.05kg的金屬棒ab緊靠NQ放置在導軌上，且與導軌接觸良好，導軌與金屬棒的電阻均不計．現(xiàn)由靜止釋放金屬棒，金屬棒沿導軌向下運動過程中始終與NQ平行．已知金屬棒與導軌間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，當金屬棒滑行至cd處時已經(jīng)達到穩(wěn)定速度，cd距離NQ為s=2m．試解答以下問題：（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）當金屬棒滑行至cd處時回路中的電流多大？
（2）當金屬棒滑行至cd處時回路中產(chǎn)生的焦耳熱是多少？
（3）若將金屬棒滑行至cd處的時刻記作t=0，從此時刻起，讓磁感應強度逐漸減小，可使金屬棒中不產(chǎn)生感應電流，則磁感應強度B應怎樣隨時間t變化（寫出B與t的關系式）？

Answer 1

分析 （1）對金屬棒進行受力分析，達到穩(wěn)定速度時，即為做勻速運動，根據(jù)平衡條件列出等式求解電流．
（2）由法拉第電磁感應定律、歐姆定律求出金屬棒穩(wěn)定時的速度．重力勢能減小轉化為動能、摩擦產(chǎn)生的內能和回路中產(chǎn)生的焦耳熱．再根據(jù)能量守恒求解焦耳熱．
（3）要使金屬棒中不產(chǎn)生感應電流，則穿過線框的磁通量不變．同時棒受到重力、支持力與滑動摩擦力做勻加速直線運動．從而可求出磁感應強度B應怎樣隨時間t變化的．

解答 解：（1）金屬棒達到穩(wěn)定速度時做勻速直線運動，則有 mgsinθ=F_A+μmgcosθ
又安培力 F_A=B₀IL
聯(lián)立得 $I=\frac{{mg（{sin{{37}°}-μcos{{37}°}}）}}{{{B_0}L}}=\frac{{0.05×10×（{0.6-0.5×0.8}）}}{1×0.5}=0.2A$
（2）穩(wěn)定時金屬棒產(chǎn)生的感應電動勢 E=B₀Lv
感應電流 $I=\frac{E}{R}$
聯(lián)立得穩(wěn)定時金屬棒的速度：$v=\frac{IR}{{{B_0}L}}=\frac{0.2×5}{1×0.5}m/s=2m/s$
根據(jù)能量守恒得：
  E=mgsin37°s-μmgcos37°s-$\frac{1}{2}$mv²=0.1J
（3）當回路中的總磁通量不變時，金屬棒中不產(chǎn)生感應電流．此時金屬棒將沿導軌做勻加速運動．
根據(jù)牛頓第二定律得 mgsinθ-μmgcosθ=ma
則 a=g（sinθ-μcosθ）=10×（0.6-0.5×0.8）m/s²=2m/s²；
由題意得 ${B_0}Ls=BL（{s+vt+\frac{1}{2}a{t^2}}）$
則B=$\frac{{{B_0}s}}{{s+vt+\frac{1}{2}a{t^2}}}=\frac{2}{{{t^2}+2t+2}}$T     
答：
（1）當金屬棒滑行至cd處時回路中的電流是0.2A．
（2）當金屬棒滑行至cd處時回路中產(chǎn)生的焦耳熱是0.1J．
（3）B與t的關系式為B=$\frac{2}{{t}^{2}+2t+2}$T．

點評 本題考查了牛頓運動定律、閉合電路毆姆定律，安培力公式、感應電動勢公式，還有能量守恒．同時當金屬棒速度達到穩(wěn)定時，則一定是處于平衡狀態(tài)，原因是安培力受到速度約束的．還巧妙用磁通量的變化去求出面積從而算出棒的距離．最后線框的總磁通量不變時，金屬棒中不產(chǎn)生感應電流是解題的突破點．