Question

3．如圖所示，兩電阻不計的足夠長光滑平行金屬導(dǎo)軌與水平面夾角為θ=30°，導(dǎo)軌間距為l=40cm，所在平面的正方形區(qū)域abcd內(nèi)存在有界勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為0.5T，方向垂直于軌道平面向上．如圖所示，將甲、乙兩阻值相同，質(zhì)量均為m=0.01kg的相同金屬桿放置在導(dǎo)軌上，甲金屬桿處在磁場的上邊界，甲、乙相距l(xiāng)．從靜止釋放兩金屬桿的同時，在甲金屬桿上施加一個沿著導(dǎo)軌的外力F，使甲金屬桿在運動過程中始終沿導(dǎo)軌向下做勻加速直線運動，且加速度大小a=5m/s²，乙金屬桿進入磁場時恰好做勻速運動．（g=10m/s²）
（1）求乙金屬桿剛進入磁場瞬間，甲、乙之間的距離x；以及甲、乙的電阻R為多少？
（2）先判斷F的方向，再寫出甲在磁場運動過程中外力F隨時間t的變化關(guān)系式．（從釋放金屬桿時開始計時）
（3）若從開始釋放兩桿到乙金屬桿剛離開磁場的過程中，乙金屬桿上共產(chǎn)生熱量Q，試求此過程中外力F對甲金屬桿所做的功．（用已知量字母Q、m、l、θ、g表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得到甲乙加速度相同，都是5m/s²，當(dāng)乙進入磁場時，甲剛出磁場，由運動學(xué)公式求出乙進入磁場時的速度，乙金屬桿剛進入磁場時作勻速運動，根據(jù)安培力的公式和平衡條件可求出甲乙的電阻R．
（2）甲在磁場中運動做勻加速運動，由速度公式得到速度與時間的關(guān)系式，根據(jù)牛頓第二定律求解外力F隨時間t的變化關(guān)系．
（3）乙進入磁場前，甲乙發(fā)出相同熱量．甲一直在磁場中時，外力F始終等于安培力，克服安培力做功等于甲乙產(chǎn)生的總熱量；乙在磁場中運動時，根據(jù)動能定理求出乙放出的熱量，即可求出甲乙發(fā)出的熱量，再求出外力做功．

解答 解：（1）在乙尚未進入磁場中的過程中，甲、乙的加速度相同，
因它們同時釋放，則它們會相對靜止，
當(dāng)乙金屬桿剛進入磁場瞬間，甲、乙之間的距離x=l=0.4m；
設(shè)乙剛進入磁場時的速度為v，
 依據(jù) v²=2ax   且 a=gsinθ
        即  v=$\sqrt{2glsinθ}$=$\sqrt{2×10×0.4×0.5}$=2m/s；
乙剛進入磁場時，對乙由根據(jù)平衡條件得mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{2R}$
R_乙=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}\sqrt{2glsinθ}}{2mgsinθ}$=$\frac{0．{5}^{2}×0．{4}^{2}×2}{2×0.01×10×0.5}$=0.8Ω；
 那么R_甲=0.8Ω；
（2）甲在磁場中運動時，由牛頓第二定律可知，外力F大小始終等于安培力大小即：F=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{2R}$ 
而v=（gsinθ）t
      解得 F=$\frac{m{g}^{2}si{n}^{2}θ}{\sqrt{2glsinθ}}$t=$\frac{0.01×1{0}^{2}×0．{5}^{2}}{2}t$=0.125t²；
 外力方向沿導(dǎo)軌平面并垂直金屬桿甲向下，
（3）設(shè)乙從釋放到剛進入磁場過程中做勻加速直線運動所需要的時間為t₁
         l=$\frac{1}{2}$（gsinθ）${t}_{1}^{2}$
解得：t₁=$\sqrt{\frac{2l}{gsinθ}}$=$\frac{l}{gsinθ}\sqrt{2glsinθ}$
設(shè)乙從進入磁場過程至剛離開磁場的過程中做勻速直線運動所需要的時間為t₂；
           l=vt₂；
      解得：t₂=$\frac{l}{\sqrt{2glsinθ}}$=$\frac{l}{2gsinθ}\sqrt{2glsinθ}$
設(shè)乙離開磁場時，甲的速度v′
v′=（gsinθ）（t₁+t₂）=$\frac{3}{2}\sqrt{2glsinθ}$
設(shè)甲從開始釋放至乙離開磁場的過程中的位移為x    
      x=$\frac{1}{2}$（gsinθ）（t₁+t₂）²=$\frac{9}{4}$l 
根據(jù)能量轉(zhuǎn)化和守恒定律得：mgxsinθ+mg•2lsinθ+W_F=2Q+$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{1}{2}$mv′²
          W_F=2Q-mglsinθ．
答：（1）乙金屬桿剛進入磁場瞬間，甲、乙之間的距離0.4m；以及甲、乙的電阻R均為0.8Ω；
（2）外力F的方向沿導(dǎo)軌平面并垂直金屬桿甲向下，
甲在磁場運動過程中外力F隨時間t的變化關(guān)系式F=0.125t²．（從釋放金屬桿時開始計時）
（3）若從開始釋放兩桿到乙金屬桿剛離開磁場的過程中，乙金屬桿上共產(chǎn)生熱量Q，此過程中外力F對甲金屬桿所做的功2Q-mglsinθ．（用已知量字母Q、m、l、θ、g表示）

點評 本題是復(fù)雜的電磁感應(yīng)現(xiàn)象，是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識的綜合，分析導(dǎo)體棒的運動情況，要抓住甲勻加速運動的過程中，外力與安培力大小相等．分別從力和能量兩個角度進行研究．