Question

12．如圖所示，兩個質量相同的小球，用細線懸于同一點O₁做圓錐擺運動，兩球做圓周運動的軌道在同一倒圓錐面上，懸點 O₁、兩圓軌道的圓心O₂、O₃及錐頂O₄在同一豎直線上，O₂、O₃將O₁ O₄三等分，則甲、乙兩球運動的角度之比為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由題可知，小球在水平面內做勻速圓周運動，合力提供向心力，即重力和繩子作用力的合力沿水平方向指向圓心，結合幾何關系求解即可．

解答 解：兩球都在水平面內做勻速圓周運動，合外力提供向心力，以任意一球為例，受力分析，受到重力、繩子拉力，兩個力的合力提供向心力，設繩長為L，繩子與豎直方向的夾角為θ，則有：
mgtanθ=mω²Lsinθ
解得：ω=$\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$
懸點 O₁、兩圓軌道的圓心O₂、O₃及錐頂O₄在同一豎直線上，O₂、O₃將O₁ O₄三等分，則${O}_{1}{O}_{2}=\frac{1}{2}{O}_{2}{O}_{3}$，而繩長相等，
根據(jù)幾何關系可知，甲繩與豎直方向夾角的余弦值與乙繩與豎直方向夾角的余弦值之比為$\frac{{O}_{1}{O}_{2}}{{O}_{1}{O}_{3}}=\frac{1}{2}$，
則$\frac{{ω}_{甲}}{{ω}_{乙}}=\sqrt{2}$，故C正確，ABD錯誤．
故選：C

點評 解決本題的關鍵知道圓周運動向心力的來源，結合牛頓第二定律以及合成法分析，難度適中．