Question

（2011?湖北二模）一水平放置的圓環(huán)形剛性窄槽固定在桌面上，槽內(nèi)嵌著三個(gè)大小相同的剛性小球，它們的質(zhì)量分別為m₁、m₂、m₃，且m₂=m₃=2m₁．小球與槽的兩壁剛好接觸且不計(jì)所有摩擦．起初三個(gè)小球處于如圖所示的等兼具的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)位置，m₂、m₃靜止，m₁以初速度v₀=

πR

2

沿槽運(yùn)動(dòng)，R為圓環(huán)內(nèi)半徑與小球半徑之和．已知m₁以v₀與靜止的m₂碰撞之后，m₂的速度大小為

2v0

3

；m₂與m₃碰撞之后二者交換速度；m₃與m₁之間的碰撞為彈性碰撞．求此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T．

Answer 1

分析：通過(guò)計(jì)算分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程：m₁通過(guò)

1

3

?2πR弧長(zhǎng)與m₂碰撞，算出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出碰撞后m₁的速度．碰撞后m₂的速度大小為

2v0

3

，運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)

1

3

?2πR與m₃碰撞，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，m₂與m₃碰撞之后二者交換速度．m₃與m₁之間的碰撞為彈性碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒和動(dòng)能守恒求出碰撞后兩球的速度，根據(jù)速度與通過(guò)路程求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．分析運(yùn)動(dòng)時(shí)間與各球運(yùn)動(dòng)時(shí)間，求出周期．

解答：解：設(shè)m₁經(jīng)過(guò)t₁與m₂相碰，t1=

1 3 ?2πR

v0

=

2πR

3v0

設(shè)m₁與m₂碰撞之后兩球的速度分別為v₁、v₂，在碰撞過(guò)程中由動(dòng)量守恒定律得：
    m₁v₀=m₁v₁+2m₁v₂
由題v₂=

2v0

3

，求得v₁=-

v0

3

，方向與碰前速度方向相反．
設(shè)m₂經(jīng)過(guò)t₂與m₃相碰，t₂=

1 3 ?2πR

v2

=

2πR

3v2

設(shè)m₂與m₃碰撞之后兩球的速度分別為v₂'、v₃'，因m₂與m₃在碰撞后交換速度
   所以v₂'=0，v₃′=

2v0

3

由碰后速度關(guān)系知，m₃與m₁碰撞的位置在Ⅰ位置，設(shè)m₃經(jīng)過(guò)t₃與m₁相碰，t3=

1 3 ?2πR

v3′

設(shè)m₃與m₁碰撞后的速度分別為v₃''，v₁''，由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律可得：
   2m₁v₃'+m₁v₁=2m₁v₃''+m₁v₁''

1

2

×2m1v3′2+

1

2

m1v12=

1

2

×2m1v3′′2+

1

2

×m1v1′′2 
聯(lián)立解得：v₃''=0，v₁''=v₀或v3″=

2v0

3

，v1″=-

v0

3

（舍）                                   
設(shè)m₁碰后經(jīng)t₄回到Ⅱ位置，t₄=

1 3 ?2πR

v1′

至此，三個(gè)小球相對(duì)于原位置分別改變了120⁰，且速度與最初狀態(tài)相同．故再經(jīng)過(guò)兩個(gè)相同的過(guò)程，即完成一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期．T=3（t₁+t₂+t₃+t₄）=20s                                       
答：此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期為20s．

點(diǎn)評(píng)：本題物理過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，要邊計(jì)算邊分析，關(guān)鍵是研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)周期與各個(gè)小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)系．