Question

4．一列火車和一輛汽車沿同一方向做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，速度分別為v₁和v₂．t=0時(shí)刻，火車在汽車前方26m處，此后v₁、v₂在各個(gè)時(shí)刻的大小如表所示．根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，通過計(jì)算求：

t/s	0	1	2	3	4	5
v1/m•s-1	16.0	14.0	12.0	10.0	…	…
v2/m•s-1	4.0	5.0	6.0	7.0	…	…

（1）兩車經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間相距最大？此時(shí)最大間距是多少？
（2）經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩車相遇？
（3）兩車初始間距滿足什么條件可以相遇兩次．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$a=\frac{△v}{△t}$求得汽車和火車的加速度，當(dāng)兩者速度相同時(shí)相距最遠(yuǎn)，根據(jù)速度時(shí)間公式和位移時(shí)間公式即可求得；
（2）根據(jù)速度時(shí)間公式求得火車減速到零所需時(shí)間，根據(jù)位移時(shí)間公式即可判斷；
（3）考慮臨界情況，如果兩車達(dá)到共速時(shí)，正好相遇，此后還能相遇一次，即可判斷

解答 解：（1）由表格知，火車做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為：
${a}_{1}=\frac{△v}{△t}=\frac{14.0-16.0}{1}m/{s}^{2}=-2m/{s}^{2}$
汽車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為：
${a}_{2}=\frac{△v′}{△t′}=\frac{5.0-4.0}{1}m/{s}^{2}=1m/{s}^{2}$
開始時(shí)，火車的速度大于汽車的速度，并且火車在前，所以兩者間距增大，當(dāng)兩者速度相等時(shí)，相距最遠(yuǎn)．
設(shè)共速所需時(shí)間為t
v′₁=v₁+a₁t=16-2t
v′₂=v₂+a₂t=4+t
另v′₁=v′₂，解得t=4s
此時(shí)，火車的位移：
${s}_{1}={v}_{1}t+\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}=16×4-\frac{1}{2}×2×{4}^{2}m=48m$
汽車的位移：
${s}_{2}={v}_{2}t+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}=4×4+\frac{1}{2}×1×{4}^{2}m=m=24m$
兩車最大距離：
△s=s₁+26-s₂=48+26-24m=50m
（2）火車做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，停下來所用的時(shí)間為t₁：
${t}_{1}=\frac{0-{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{0-16}{-2}s=8s$
$s{′}_{1}={v}_{1}{t}_{1}+\frac{1}{2}{{a}_{1}t}_{1}^{2}=16×8-\frac{1}{2}×2×{8}^{2}m=64m$
汽車的位移：$s{′}_{2}={v}_{2}{t}_{1}+\frac{1}{2}{{a}_{2}t}_{1}^{2}=4×8+\frac{1}{2}×1×{8}^{2}m=64$
此時(shí)，汽車還未追上火車．設(shè)t₂時(shí)刻追上，則：
$s{′}_{1}+26={v}_{2}{t}_{2}+\frac{1}{2}{{a}_{2}t}_{2}^{2}$
整理得：${t}_{2}^{2}+8{t}_{2}-180=0$
解得：t₂=10s
（3）首先，若要相遇兩次，一定要汽車在前．
其次，考慮臨界情況，如果兩車達(dá)到共速時(shí)，正好相遇，
此時(shí)：△s′=s₁-s₂=48-24m=24m
若兩車距離小于這個(gè)值，則兩車可以相遇兩次．
答：（1）兩車經(jīng)過4s時(shí)間相距最大，此時(shí)最大間距是50m
（2）經(jīng)過10s時(shí)間兩車相遇
（3）兩車初始間距小于24m可以相遇兩次

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察了勻變速直線運(yùn)動(dòng)的追擊相遇問題，在速度相同時(shí)，兩者相距最遠(yuǎn)，相遇時(shí)兩者滿足位移關(guān)系及可判斷