Question

17．如圖（1）是近代物理實(shí)驗(yàn)室中研究帶電粒子的一種裝置，帶電量均為+q．質(zhì)量不同的離子從容器A下方小孔S不斷飄入電勢(shì)差為U的加速電場(chǎng)中（粒子飄入時(shí)的速度可視為零），經(jīng)過(guò)小孔O沿垂直O(jiān)D方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中（磁場(chǎng)方向垂直紙面），最后打在與OD在同一水平面上的照片上并被吸收．已知放置底片的區(qū)域MN=L，且OM=L，不考慮粒子的重力及粒子間的相互作用．
（1）為了使粒子能打在底片上，請(qǐng)指出所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向；
（2）測(cè)試中發(fā)現(xiàn)從S飄入的粒子經(jīng)加速偏轉(zhuǎn)后都打在底片MN上，求這些離子的質(zhì)量范圍；
（3）某次測(cè)量中，若離子的質(zhì)量取第（2）小題所求的范圍內(nèi)的所有值，測(cè)試人員將底片MN如圖（2）所示放置，底片MN與OD所成夾角為α，但仍保持OM=L，求底片被離子打中區(qū)域長(zhǎng)度△L與α的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)左手定則由粒子的偏轉(zhuǎn)方向、粒子的電性就能確定磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向．
（2）在加速電場(chǎng)中，由動(dòng)能定理，表示出粒子的速度表達(dá)式，在磁場(chǎng)中由洛侖茲力提供向心力，從而表示出粒子質(zhì)量的表達(dá)式，從表達(dá)式就能看出當(dāng)半徑取最小和最大時(shí)，從而確定質(zhì)量的最小和最大．
（3）若將底片繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，而粒子的質(zhì)量范圍不變，畫(huà)出最大和最小質(zhì)量的軌跡，由幾何關(guān)系，從而確定在這些質(zhì)量范圍內(nèi)的粒子打在底片上的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）由左手定則，粒子向左偏轉(zhuǎn)，則磁場(chǎng)方向應(yīng)為垂直紙面向外．
（2）帶電粒子在加速電場(chǎng)中由動(dòng)能定理有：$Uq=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
  進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
  解得：$m=\frac{{B}^{2}q{r}^{2}}{2U}$
  當(dāng)r=$\frac{1}{2}L$時(shí)，粒子打在M點(diǎn)，其質(zhì)量最小，質(zhì)量為$\frac{{B}^{2}q{L}^{2}}{8U}$．
  當(dāng)r=L時(shí)，粒子打在N點(diǎn)，其質(zhì)量最大，質(zhì)量為$\frac{{B}^{2}q{L}^{2}}{2U}$．
所以打在MN上的粒子的質(zhì)量范圍為$\frac{{B}^{2}q{L}^{2}}{8U}$---$\frac{{B}^{2}q{L}^{2}}{2U}$．
（3）當(dāng)把MN由原來(lái)的位置向下轉(zhuǎn)過(guò)α角時(shí)，在原來(lái)質(zhì)量范圍內(nèi)的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖．
  由幾何關(guān)系，打在MN上的長(zhǎng)度為：△L=MP=ON′cosα-OM=2Lcosα-L
答：（1）為了使粒子能打在底片上，所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向就為垂直于紙面向外．
（2）測(cè)試中發(fā)現(xiàn)從S飄入的粒子經(jīng)加速偏轉(zhuǎn)后都打在底片MN上，這些離子的質(zhì)量范圍是$\frac{{B}^{2}q{L}^{2}}{8U}$---$\frac{{B}^{2}q{L}^{2}}{2U}$．
（3）某次測(cè)量中，若離子的質(zhì)量取第（2）小題所求的范圍內(nèi)的所有值，測(cè)試人員將底片MN如圖（2）所示放置，底片MN與OD所成夾角為α，但仍保持OM=L，則底片被離子打中區(qū)域長(zhǎng)度△L與α的函數(shù)關(guān)系為△L=2Lcosα-L．

點(diǎn)評(píng) 本題只是帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的一個(gè)特例，是質(zhì)譜儀的一個(gè)變形．不同的是第三問(wèn)將底片旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，求原來(lái)質(zhì)量范圍內(nèi)的粒子打在底片上的長(zhǎng)度，這要求準(zhǔn)確畫(huà)出粒子的軌跡，由幾何關(guān)系來(lái)求．