Question

1．如圖所示，豎直平面內光滑圓軌道半徑R=2m，從最低點A有一質量為m=1kg的小球開始運動，初速度v₀方向水平向右，重力加速度g取10m/s²，下列說法正確的是（　�。�

• A． 若初速度v₀=8m/s，則小球將在離A點1.8m高的位置離開圓軌道
• B． 若初速度v₀=8m/s，則小球離開圓軌道時的速度大小為2$\sqrt{2}$m/s
• C． 小球能到達最高點B的條件是v₀≥4$\sqrt{5}$m/s
• D． 若初速度v₀=5m/s，則運動過程中，小球可能會脫離圓軌道

Answer 1

分析 當小球能到達最高點時，由重力提供向心力，此時速度最小，求出最小速度，再根據動能定理求出v₀的最小值，剛好脫離軌道時，軌道對小球的彈力為零，重力沿半徑方向的分量提供向心力，根據向心力公式結合動能定理以及幾何關系即可求解．

解答 解：C、當小球能到達最高點時，由重力提供向心力，此時速度最小，則
mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}=\sqrt{20}m/s$
從A到B的過程中，根據動能定理得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=-mg•2R$
解得：v₀=10m/s
所以小球能到達最高點B的條件是v₀≥10m/s，故C錯誤；
D、當小球恰好運動到AB中點時，有 mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，v₀=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×2}$=2$\sqrt{10}$m/s＞5m/s．則小球在軌道下部分來回運動，一定不會離開軌道，故D錯誤；
A、B、由以上的分析可知當速度是8m/s時，由于5m/s＜8m/s＜10m/s所以小球將脫離軌道；
剛好脫離軌道時，軌道對小球的彈力為零，重力沿半徑方向的分量提供向心力，設此時重力方向與半徑方向的夾角為θ，則
mgcos$θ=m\frac{{v′}^{2}}{R}$
根據幾何關系得：cos$θ=\frac{h}{R}$
根據動能定理得：$\frac{1}{2}m{v′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=-mg•（R+h）$
解得：$v′=2\sqrt{2}m/s$，h=0.8m
所以離開圓軌道得位置離A點的距離為H=0.8+2=2.8m，故A錯誤，B正確．
故選：B

點評 本題主要考查了向心力公式、動能定理的直接應用，知道小球到達最高點的條件，特別注意剛好脫離軌道時，軌道對小球的彈力為零，難度較大．