Question

如圖所示，在xoy第一象限內分布有垂直xoy向外的勻強磁場，磁感應強度大小。在第二象限緊貼y軸和x軸放置一對平行金屬板MN（中心軸線過y軸），極板間距；極板與左側電路相連接，通過移動滑動頭P可以改變極板MN間的電壓。a、b為滑動變阻器的最下端和最上端（滑動變阻器的阻值分布均勻），a、b兩端所加電壓。在MN中心軸線上距y軸距離為處，有一粒子源S沿x軸正方向連續(xù)射出比荷為，速度為帶正電的粒子，粒子經過y軸進入磁場，經過磁場偏轉后從x軸射出磁場（忽略粒子的重力和粒子之間的相互作用）。
（1）當滑動頭P在a端時，求粒子在磁場中做圓周運動的半徑R₀；
（2）當滑動頭P在ab正中間時，求粒子射入磁場時速度的大��；
（3）滑動頭P的位置不同則粒子在磁場中運動的時間也不同，求粒子在磁場中運動的最長時間。

Answer 1

解：（1）當滑動頭P在a端時，粒子在磁場中運動的速度大小為v₀，根據圓周運動：
 
解得：
（2）當滑動頭P在ab正中間時，極板間電壓，粒子在電場中做類平拋運動，設粒子射入磁場時沿y軸方向的分速度為v_y



粒子射入磁場時速度的大小設為v

解得：（或）
（3）設粒子射出極板時速度的大小為v，偏向角為α，在磁場中圓周運動半徑為R

根據速度平行四邊形可得：
又：
可得：
粒子在磁場中做圓周運動的軌跡如圖，圓心為O'，與x軸交點為D，設，根據幾何關系：

又：
可解得：
粒子在磁場中運動的周期為T：
則粒子在磁場中運動的時間：
由此可知當粒子射入磁場時速度偏轉角越大則粒子在磁場中運動的時間就越大，假設極板間電壓為最大值U時粒子能射出電場，則此粒子在磁場中運動的時間最長
由（2）問規(guī)律可知當滑動頭P在b端時，粒子射入磁場時沿y方向的分速度：=
y方向偏距：，說明粒子可以射出極板。此時粒子速度偏轉角最大，設為

故粒子在磁場中運動的最長時間：
代入數值得：（或）