Question

20．如圖所示，有一固定的且內(nèi)壁光滑的半球面，球心為O，最低點為C，在其內(nèi)壁上有兩個質(zhì)量相同的小球（可視為質(zhì)點）A和B，在兩個高度不同的水平面內(nèi)做勻速圓周運動，A球的軌跡平面高于B球的軌跡平面，A、B兩球與O點的連線與豎直線OC間的夾角分別為α=53°和β=37°（sin37°=0.6，cos37°=0.8，sin53°=0.8，cos53°=0.6），以最低點C所在的水平面為重力勢能的參考平面，則（　　）

• A． A、B兩球所受彈力的大小之比為4：3
• B． A、B兩球運動的周期之比為4：3
• C． A、B兩球的動能之比為64：27
• D． A、B兩球的重力勢能之比為16：9

Answer 1

分析 小球受重力和支持力，靠兩個力的合力提供向心力，根據(jù)平行四邊形定則求出支持力之比，根據(jù)牛頓第二定律求出周期、線速度之比．從而得出動能之比．根據(jù)高度求出重力勢能，從而得出重力勢能之比．

解答 解：A、根據(jù)平行四邊形定則得，N=$\frac{mg}{cosθ}$，則$\frac{{N}_{A}}{{N}_{B}}=\frac{cos37°}{cos53°}=\frac{0.8}{0.6}=\frac{4}{3}$，故A正確．
B、根據(jù)mgtanθ=$m\frac{{v}^{2}}{r}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，r=Rsinθ，解得${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}mgRtanθsinθ$，
則A、B兩球的動能之比為：$\frac{{E}_{KA}}{{E}_{KB}}=\frac{tan53°sin53°}{tan37°sin37°}=\frac{64}{27}$，
解得：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}Rcosθ}{g}}$，則有：$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}=\sqrt{\frac{cos53°}{cos37°}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故B錯誤，C正確．
D、小球的重力勢能E_p=mgR（1-cosθ），則A、B兩球的重力勢能之比為：$\frac{{E}_{PA}}{{E}_{PB}}=\frac{1-cos53°}{1-cos37°}$=2．故D錯誤．
故選：AC．

點評 解決本題的關(guān)鍵搞清向心力的來源，運用牛頓第二定律得出線速度、周期的關(guān)系．