Question

如圖所示，三個(gè)質(zhì)量均為m的彈性小球用兩根長均為L的輕繩連成一條直線而靜止在光滑水平面上．現(xiàn)給中間的小球B一個(gè)水平初速度v₀，方向與繩垂直．小球相互碰撞時(shí)無機(jī)械能損失，輕繩不可伸長．求：
（1）當(dāng)小球A、C第一次相碰時(shí)，小球B的速度．
（2）當(dāng)三個(gè)小球再次處在同一直線上時(shí)，小球B的速度．
（3）運(yùn)動(dòng)過程中小球A的最大動(dòng)能E_KA和此時(shí)兩根繩的夾角θ．
（4）當(dāng)三個(gè)小球處在同一直線上時(shí)，繩中的拉力F的大�。�

Answer 1

分析：（1）給中間的小球B一個(gè)水平初速度后，由于繩子的拉力作用，小球B減速，小球A和C向前加速，由于兩繩子不可伸長，當(dāng)小球A、C第一次相碰時(shí)，角度θ為零，故三球此時(shí)在沿B球速度方向的分速度相等，根據(jù)動(dòng)量守恒定律可以列式求解；
（2）根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律列式求解即可；
（3）當(dāng)小球B速度減為零時(shí)，小球A和小球C動(dòng)能最大，根據(jù)動(dòng)量定律守恒定律和機(jī)械能守恒定律聯(lián)立列式求解；
（4）當(dāng)三個(gè)小球處在同一直線上時(shí)，小球B受力平衡，加速度為零，先根據(jù)動(dòng)量定律守恒定律和機(jī)械能守恒定律聯(lián)立列式求解出各個(gè)球的速度，再以B球?yàn)閰⒖枷�，根�?jù)向心力公式列式求解．

解答：解：（1）設(shè)小球A、C第一次相碰時(shí)，小球B的速度為v_B，考慮到對(duì)稱性及繩的不可伸長特性，小球A、C沿小球B初速度方向的速度也為v_B，由動(dòng)量守恒定律，得
mv₀=3mv_B
由此解得
vB=

1

3

v0
即當(dāng)小球A、C第一次相碰時(shí)，小球B的速度為

1

3

v0．
（2）當(dāng)三個(gè)小球再次處在同一直線上時(shí)，則由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，得
mv₀=mv_B+2mv_A

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 B

+2×

1

2

m

v

2 A

解得
vB=-

1

3

v0
vA=

2

3

v0（三球再次處于同一直線）
另一組解為
v_B=v₀
v_A=0（為初始狀態(tài)，舍去）
所以，三個(gè)小球再次處在同一直線上時(shí)，小球B的速度為vB=-

1

3

v0（負(fù)號(hào)表明與初速度反向）
（3）當(dāng)小球A的動(dòng)能最大時(shí)，小球B的速度為零．設(shè)此時(shí)小球A、C的速度大小為u，兩根繩間的夾角為θ（如圖），則仍由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，得
mv0=2musin

θ

2

1

2

m

v

2 0

=2×

1

2

m

u

2

另外，EKA=

1

2

mu2
由此可解得，小球A的最大動(dòng)能為EKA=

1

4

mv02，此時(shí)兩根繩間夾角為θ=90°
即運(yùn)動(dòng)過程中小球A的最大動(dòng)能E_KA為

1

4

mv02、此時(shí)兩根繩的夾角θ為90°．
（4）小球A、C均以半徑L繞小球B做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三個(gè)小球處在同一直線上時(shí)，以小球B為參考系（小球B的加速度為0，為慣性參考系），小球A（C）相對(duì)于小球B的速度均為
v=|v_A-v_B|
所以，此時(shí)繩中拉力大小為：
F=m

v2

L

=m

v 2 0

L

即當(dāng)三個(gè)小球處在同一直線上時(shí)，繩中的拉力F的大小為m

v 2 0

L

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵要多次結(jié)合動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律列式求解出各個(gè)球的速度，計(jì)算較為復(fù)雜，同時(shí)要結(jié)合已知的一些臨界條件分析．