Question

如圖所示，在xoy平面內(nèi)有一扇形金屬框abc，其半徑為r，ac邊與y軸重合，bc邊與x軸重合，且c為坐標(biāo)原點，ac邊與bc邊的電阻不計，圓弧ab上單位長度的電阻為R．金屬桿MN長度為L，放在金屬框abc上，MN與ac邊緊鄰．磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場與框架平面垂直并充滿平面．現(xiàn)對MN桿施加一個外力（圖中未畫出），使之以C點為軸順時針勻速轉(zhuǎn)動，角速度為ω．求：
（1）在MN桿運動過程中，通過桿的電流I與轉(zhuǎn)過的角度θ間的關(guān)系；
（2）整個電路消耗電功率的最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）先求出電路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢，然后求出電路總電阻，根據(jù)歐姆定律即可求得電流I與轉(zhuǎn)過的角度θ間的關(guān)系；
（2）根據(jù)題意可知，圓弧總長度rθ+r（

π

2

-θ）是定值，所以，當(dāng) rθ=r（

π

2

-θ）時，即θ=

π

4

時，總電阻R_總有最大值．求出總電阻的最大值，然后根據(jù)功率的公式求解最小功率．

解答：解：（1）電路中感應(yīng)電動勢 E=

1

2

Bωr²     
金屬桿的電阻為Rr，則電路總電阻
R_總=Rr+

R(rθ)R[r( π 2 -θ)]

π 2 rR

=Rr+

θ(π-2θ)rR

π

桿中電流I與桿轉(zhuǎn)過的角度θ的關(guān)系為  I=

E

R總

=

πBr2ω

2πRr+2θ(π-2θ)rR

    
（2）由于總電阻：R_總=Rr+

R(rθ)R[r( π 2 -θ)]

π 2 rR

，圓弧總長度rθ+r（

π

2

-θ）是定值，所以，當(dāng) rθ=r（

π

2

-θ）時，即θ=

π

4

時，總電阻R_總有最大值．     
此時，R_總=Rr+

πrR

8

    
此時，電路消耗電功率的最小值是P=

E2

R總

=

2B2r4ω2

8Rr+πrR

答：（1）在MN桿運動過程中，通過桿的電流I與轉(zhuǎn)過的角度θ間的關(guān)系為I=

πBr2ω

2πRr+2θ(π-2θ)rR

；
（2）整個電路消耗電功率的最小值是

2B2r4ω2

8Rr+πrR

．

點評：本題要同學(xué)們分析出電路的結(jié)構(gòu)，兩段圓弧并聯(lián)后與金屬感相連，會用閉合電路歐姆定律求解電流，知道圓弧總長度是定值，能用數(shù)學(xué)知識求解電阻的最大值，難度適中．