Question

15．如圖所示，在方向豎直向上的磁感應強度為B的勻強磁場中，有兩條光滑的平行金屬導軌，其電阻不計，間距為L，導軌平面與磁場方向垂直，ab、cd為兩根垂直導軌放置的、電阻都為R、質(zhì)量都為m的金屬棒，棒cd用最大拉力為f的水平細線拉住，棒ab在水平拉力F的作用下以加速度a向右做勻加速運動．求：
（1）F隨時間的變化規(guī)律．
（2）經(jīng)多長時間細線將被拉斷？
（3）若在細線被拉斷的瞬間撤去拉力F，則棒ab和棒cd的最終速度為多大？
（4）從細線斷開到兩金屬棒達到最終速度，電路中產(chǎn)生了多少熱量？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)速度時間公式求出速度的表達式，從而根據(jù)切割產(chǎn)生的感應電動勢和閉合電路歐姆定律求出電流的大小，得出安培力的大小，根據(jù)牛頓第二定律求出水平拉力F隨時間的變化規(guī)律．
（2）對CD棒分析，當CD棒所受的安培力等于繩子的最大拉力時，繩子斷裂，抓住共點力平衡求出細線將被拉斷的時間．
（3）若在細線被拉斷的瞬間撤去拉力F，則棒ab和棒cd的組成的系統(tǒng)在水平方向不受力，滿足動量守恒定律，由動量守恒定律列式即可求出最終速度；
（4）從細線斷開到兩金屬棒達到最終速度的過程中，由于產(chǎn)生感應電動勢和感應電流，桿的動能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，由功能關(guān)系即可求出電路中產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）在時刻t，棒的速度：v=a t
棒中感應電動勢為：E=B L v=B L a t
棒中的感應電流為：I=$\frac{BLat}{2R}$
由牛頓第二定律有：F-BIL=ma
得：F=$\frac{{{B^2}{L^2}a}}{2R}t+ma$
（2）細線拉斷時滿足：
BIL=T₀
即：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a}{2R}t=f$
解得：t=$\frac{2Rf}{{B}^{2}{L}^{2}a}$
（3）撤去拉力時，桿ab的速度：v=at=$a×\frac{2Rf}{{B}^{2}{L}^{2}a}=\frac{2Rf}{{B}^{2}{L}^{2}}$
撤去拉力F后則棒ab和棒cd的組成的系統(tǒng)在水平方向不受力，滿足動量守恒定律，選擇向右為正方向，設(shè)最終的速度為v′，得：
mv=（m+m）v′
聯(lián)立得：$v′=\frac{Rf}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（4）撤去拉力后系統(tǒng)減少的動能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，則：
$Q=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}×2mv{′}^{2}$
聯(lián)立得：Q=$\frac{m{f}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）線斷以前水平拉力F隨時間t的變化規(guī)律為F=$\frac{{{B^2}{L^2}a}}{2R}t+ma$；
（2）經(jīng)過時間$\frac{2Rf}{{B}^{2}{L}^{2}a}$細線將被拉斷．．
（3）若在細線被拉斷的瞬間撤去拉力F，則棒ab和棒cd的最終速度為$\frac{Rf}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（4）從細線斷開到兩金屬棒達到最終速度，電路中產(chǎn)生了熱量是$\frac{m{f}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

點評 本題考查了電磁感應與力學的綜合，雖然題目的情景設(shè)置比較常見，但是4個小問 涉及到的知識點比較多，在解答的過程中要理清思路，把握相應的規(guī)律與公式．