Question

20．如圖所示，太陽(yáng)和地球組成“日地雙星系統(tǒng)”，兩者繞共同的圓心C（圖中未畫(huà)出）做周期相同的圓周運(yùn)動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)家拉格朗日發(fā)現(xiàn)，處在拉格朗日點(diǎn)（如圖所示）的航天器在太陽(yáng)和地球引力的共同作用下可以繞“日地雙星系統(tǒng)”的圓心C做周期相同的圓周運(yùn)動(dòng)，從而使日、地、航天器三者在太空的相對(duì)位置保持不變．不考慮航天器對(duì)日地雙星系統(tǒng)的影響，不考慮其它天體對(duì)該系統(tǒng)的影響．已知：太陽(yáng)質(zhì)量為M地球質(zhì)量為m太陽(yáng)與地球球心距離為d則下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 位于拉格朗日點(diǎn)繞C穩(wěn)定運(yùn)行的航天器，其向心加速度小于地球的向心加速度
• B． 日地雙星系統(tǒng)的周期為T(mén)=2π$\sqrt{\frac{5tzd57l^{3}}{GMm}}$
• C． 圓心C太陽(yáng)和地球的連線上，距離太陽(yáng)和地球球心的距離之比等于太陽(yáng)和地球的質(zhì)量之比
• D． 拉格朗日點(diǎn)距地球球心的距離x滿足關(guān)系式G$\frac{M}{{（d+x）}^{2}}$+G$\frac{m}{{x}^{2}}$=G$\frac{M+m}{bxf3rlh^{3}}$（X+$\frac{dM}{M+m}$）

Answer 1

分析 位于拉格朗日點(diǎn)的繞C點(diǎn)穩(wěn)定運(yùn)行的航天器的周期與地球的周期相同，根據(jù)$a=（\frac{2π}{T}）^{2}r$可知，離C點(diǎn)越遠(yuǎn)加速度越大．
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，對(duì)地球：$G\frac{Mm}{zvjjxbx^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{1}$，對(duì)太陽(yáng)：$G\frac{Mm}{vxhf5hz^{2}}=M\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{2}$，由此二式可以解得周期T和地球距離C點(diǎn)的距離．
航天器在太陽(yáng)和地球引力的共同作用下可以繞“日地雙星系統(tǒng)”的圓心C點(diǎn)做周期相同的圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)航天器的質(zhì)量為m₀，根據(jù)合力提供向心力得$G\frac{M{m}_{0}}{（d+x）^{2}}+G\frac{m{m}_{0}}{{x}^{2}}={m}_{0}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（x+\frac{dM}{M+m}）$，代入周期化簡(jiǎn)即可．

解答 解：A、位于拉格朗日點(diǎn)的繞C點(diǎn)穩(wěn)定運(yùn)行的航天器的周期與地球的周期相同，根據(jù)$a=（\frac{2π}{T}）^{2}r$可知，離C點(diǎn)越遠(yuǎn)加速度越大，故A錯(cuò)誤．
B、太陽(yáng)和地球組成“日地雙星系統(tǒng)”，兩者繞共同的圓心C點(diǎn)（圖中未畫(huà)出）做周期相同的圓周運(yùn)動(dòng)．
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，對(duì)地球：$G\frac{Mm}{1v7xd3d^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{1}$
對(duì)太陽(yáng)：$G\frac{Mm}{z7hvx3h^{2}}=M\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{2}$
兩式相加$G\frac{M+m}{n3fdlth^{2}}=\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（{r}_{1}+{r}_{2}）$
因?yàn)閐=r₁+r₂
所以$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{tllp7td^{3}}{G（M+m）}}$
故B錯(cuò)誤．
C、由$G\frac{Mm}{199xzhv^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{1}$和$G\frac{Mm}{jjnjzf5^{2}}=M\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{r}_{2}$可得$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}=\frac{m}{M}$，即圓心C點(diǎn)在太陽(yáng)和地球的連線上，距離太陽(yáng)和地球球心的距離之比等于太陽(yáng)和地球的質(zhì)量的反比，故C錯(cuò)誤．
D、根據(jù)$\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}=\frac{m}{M}$和d=r₁+r₂可得，地球距離圓心C點(diǎn)距離為${r}_{1}=\frac{dM}{M+m}$
航天器在太陽(yáng)和地球引力的共同作用下可以繞“日地雙星系統(tǒng)”的圓心C點(diǎn)做周期相同的圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)航天器的質(zhì)量為m₀
則$G\frac{M{m}_{0}}{（d+x）^{2}}+G\frac{m{m}_{0}}{{x}^{2}}={m}_{0}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（x+\frac{dM}{M+m}）$
即$G\frac{M}{{（d+x）}^{2}}+G\frac{m}{{x}^{2}}=G\frac{M+m}{9zt5l7z^{3}}（x+\frac{dM}{M+m}）$
故D正確．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬(wàn)有引力的應(yīng)用，題目較為新穎，在解題時(shí)要注意分析向心力的來(lái)源及題目中隱含的條件．