Question

（2009?汕頭二模）如圖1所示，A、B為水平放置的平行金屬板，板間距離為d（d遠(yuǎn)小于板的長(zhǎng)和寬）．在兩板的中心各有小孔O和O’，O和O’處在同一豎直線上．在兩板之間有一帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)P．已知A、B間所加電壓為U₀時(shí)，質(zhì)點(diǎn)P所受的電場(chǎng)力恰好與重力平衡．現(xiàn)在A、B 間加上如圖2所示隨時(shí)間t作周期性變化的電壓U，已知周期T=

12d g

（g為重力加速度）．在第一個(gè)周期內(nèi)的某一時(shí)刻t₀，在A、B 間的中點(diǎn)處由靜止釋放質(zhì)點(diǎn)P，一段時(shí)間后質(zhì)點(diǎn)P從金屬板的小孔飛出．
（1）t₀在什么范圍內(nèi)，可使質(zhì)點(diǎn)在飛出小孔之前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間達(dá)到最短？
（2）t₀在哪一時(shí)刻，可使質(zhì)點(diǎn)P從小孔飛出時(shí)的速度達(dá)到最大？

Answer 1

分析：分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況：在第一個(gè)周期內(nèi)，若質(zhì)點(diǎn)在前半周內(nèi)釋放，可能先向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，后向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)；后半周內(nèi)釋放，可能先向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，后向下做勻減速直線運(yùn)動(dòng)．要使質(zhì)點(diǎn)飛出小孔之前時(shí)間最短，必須一直加速，而且加速度較大．向上或向下的加速度大小由牛頓第第二定律求出，向下的加速度大，故質(zhì)點(diǎn)須在后半周內(nèi)某個(gè)時(shí)刻釋放，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于

1

2

T，質(zhì)點(diǎn)在飛出小孔之前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間即最短；要使質(zhì)點(diǎn)P從小孔飛出時(shí)的速度達(dá)到最大，須使質(zhì)點(diǎn)釋放后先向上加速、再向上減速運(yùn)動(dòng)，在到達(dá)小孔O時(shí)速度減為0，然后向下加速運(yùn)動(dòng)直到小孔O’

解答：解：設(shè)質(zhì)點(diǎn)P的質(zhì)量為m，電量大小為q，根據(jù)題意，當(dāng)A、B間的電壓為U₀時(shí)，有
    q

U0

d

=mg                           
   當(dāng)兩板間的電壓為2U₀時(shí)，P的加速度向上，其大小為a₁，則
    q 

U0

d

-mg=ma₁         解得 a₁=g                           
   當(dāng)兩板間的電壓為-2U₀時(shí)，P的加速度向下，其大小為a₂，則
    q

U0

d

+mg=ma₂         解得 a₂=3g            
（1）要使質(zhì)點(diǎn)在飛出小孔之前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間達(dá)到最短，須使質(zhì)點(diǎn)釋放后一直向下加速運(yùn)動(dòng)．設(shè)質(zhì)點(diǎn)釋放后經(jīng)過(guò)時(shí)間t到達(dá)小孔O′，則 
        

1

2

d=

1

2

a2t2     解得 t=

d 3g

                       
    因?yàn)橹芷赥=

12d g

，所以t＜

T

2

    質(zhì)點(diǎn)到達(dá)小孔之前能一直加速．因此要使質(zhì)點(diǎn)在飛出小孔之前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間達(dá)到最短，質(zhì)點(diǎn)釋放的時(shí)刻t₀應(yīng)
    滿足

T

2

≤t0≤T-t，即

3d g

≤t₀≤5

d 3g

                   
（2）要使質(zhì)點(diǎn)P從小孔飛出時(shí)的速度達(dá)到最大，須使質(zhì)點(diǎn)釋放后先向上加速、再向上減速運(yùn)動(dòng)，在到達(dá)小孔O時(shí)速度減為0，然后向下加速運(yùn)動(dòng)直到小孔O’．
設(shè)質(zhì)點(diǎn)釋放后向上加速時(shí)間為t₁、向上減速時(shí)間為t₂，則
                         v₁=gt₁  0=v₁-3gt₂  
                         

1

2

d=

1

2

g

t

2 1

+(v1t2-

1

2

3g

t

2 2

)       
     由以上各式解得
  t₁=

3d 4g

                   t₂=

d 12g

                  
因?yàn)閠₁＜

T

2

，t₂＜

T

2

因此質(zhì)點(diǎn)P能向上先加速后減速恰好到達(dá)小孔O．設(shè)質(zhì)點(diǎn)從小孔O向下加速運(yùn)動(dòng)到小孔O’經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t₃，則
       d=

1

2

3g

t

2 3

              
 解得t₃=

2d 3g

 
    因?yàn)閠₂+t₃=

(1+2 2 )

2 3

d g

＜

T

2

，因此質(zhì)點(diǎn)P能從小孔O向下一直加速運(yùn)動(dòng)到小孔O’，
此時(shí)質(zhì)點(diǎn)P從小孔O’飛出時(shí)的速度達(dá)到最大．因此，要使質(zhì)點(diǎn)P從小孔飛出時(shí)的速度達(dá)到最大，質(zhì)點(diǎn)P釋放的時(shí)刻應(yīng)為
  t₀=

T

2

-t1=

3d 4g

故答案為：（1）

3d g

≤t₀≤5

d 3g

   （2）

3d 4g

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，是電場(chǎng)知識(shí)和力學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用，分析方法與力學(xué)分析方法基本相同，關(guān)鍵在于分析粒子的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況．