Question

在實(shí)驗(yàn)室中，需要控制某些帶電粒子在某區(qū)域內(nèi)的滯留時(shí)間，以達(dá)到預(yù)想的實(shí)驗(yàn)效果．現(xiàn)設(shè)想在xOy的紙面內(nèi)存在以下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，在O點(diǎn)到P點(diǎn)區(qū)域的x軸上方，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向外，在x軸下方，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B，方向垂直紙面向里，OP兩點(diǎn)距離為x₀（如圖所示）．現(xiàn)在原點(diǎn)O處以恒定速度v₀不斷地向第一象限內(nèi)發(fā)射氘核粒子．
（1）設(shè)粒子以與x軸成45°角從O點(diǎn)射出，第一次與x軸相交于A點(diǎn)，第n次與x軸交于P點(diǎn)，求氘核粒子的比荷

q

m

（用已知量B、x₀、v₀、n表示），并求OA段粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的弧長(zhǎng)（用已知量x₀、v₀、n表示）．
（2）求粒子從O點(diǎn)到A點(diǎn)所經(jīng)歷時(shí)間t₁和從O點(diǎn)到P點(diǎn)所經(jīng)歷時(shí)間t（用已知量x₀、v₀、n表示）．

Answer 1

分析：（1）在x軸的上方和下方的磁場(chǎng)的方向相反，粒子的受力的方向也相反，粒子與x軸成45°角從O點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)的軌跡，由幾何關(guān)系可以得出粒子的運(yùn)動(dòng)的軌跡的弧長(zhǎng)的大小；
（2）上方和下方的磁場(chǎng)的大小相同方向相反，粒子的運(yùn)動(dòng)的情況相同，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也相同，由此可以求得粒子到達(dá)P的時(shí)間的大�。�

解答：解（1）氘核粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律得
qBv0=

m v 2 0

R

解得粒子運(yùn)動(dòng)的半徑  
R=

mv0

qB

由幾何關(guān)系知，
粒子從A點(diǎn)到O點(diǎn)的弦長(zhǎng)為

2

R，
由題意
n?

2

R=x0
解得氘核粒子的比荷：

q

m

=

2 nv0

x0B

由幾何關(guān)系得，OA段粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的弧長(zhǎng)：

S

=θR，
圓心角：
θ=

π

2

由以上各式解得  
 

S

=

2 π x0

4n

（2）粒子從O點(diǎn)到A點(diǎn)所經(jīng)歷時(shí)間：
t1=

2 π x0

4nv0

從O點(diǎn)到P點(diǎn)所經(jīng)歷時(shí)間
t=nt1=

2 π x0

4v0

．

點(diǎn)評(píng)：粒子每次在上下磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，所以很據(jù)幾何關(guān)系只要求得粒子第一次在上磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間即可求得n次的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．