Question

8．如下圖是阿毛同學(xué)的漫畫中出現(xiàn)的裝置，描述了一個(gè)“吃貨”用來做“糖炒栗子”的“萌”事兒：將板栗在地面小平臺(tái)上以一定的初速度經(jīng)兩個(gè)四分之一圓弧銜接而成的軌道，從最高點(diǎn)P飛出進(jìn)入炒鍋內(nèi)，利用來回運(yùn)動(dòng)使其均勻受熱．我們用質(zhì)量為m的小滑塊代替栗子，借這套裝置來研究一些物理問題．設(shè)大小兩個(gè)四分之一圓弧半徑為2R和R，小平臺(tái)和圓弧均光滑．將過鍋底的縱截面看作是兩個(gè)斜面AB、CD和一段光滑圓弧組成．斜面動(dòng)摩擦因數(shù)均為0.25，而且不隨溫度變化．兩斜面傾角均為θ=37°，AB=CD=2R，A、D等高，D端固定一小擋板，碰撞不損失機(jī)械能．滑塊的運(yùn)動(dòng)始終在包括鍋底最低點(diǎn)的豎直平面內(nèi)，重力加速度為g．

（1）如果滑塊恰好能經(jīng)P點(diǎn)飛出，為了使滑塊恰好沿AB斜面進(jìn)入鍋內(nèi)，應(yīng)調(diào)節(jié)鍋底支架高度使斜面的A、D點(diǎn)離地高為多少？
（2）接（1）問，求滑塊在鍋內(nèi)斜面上走過的總路程．
（3）對(duì)滑塊的不同初速度，求其通過最高點(diǎn)P和小圓弧最低點(diǎn)Q時(shí)受壓力之差的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出滑塊恰好到達(dá)P點(diǎn)的速度，根據(jù)速度方向與斜面AB平行，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，運(yùn)用平行四邊形定則求出豎直分速度，從而得出AD離地的高度．
（2）根據(jù)平行四邊形定則求出進(jìn)入A點(diǎn)時(shí)滑塊的速度，對(duì)全過程運(yùn)用動(dòng)能定理，求出滑塊在鍋內(nèi)斜面上走過的總路程．
（3）根據(jù)牛頓第二定律分別求出P、Q的彈力，結(jié)合機(jī)械能守恒定律得出壓力差，結(jié)合最高點(diǎn)的最小速度求出壓力之差的最小值．

解答 解：（1）在P點(diǎn)，有 mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{2R}$，得 v_p=$\sqrt{2gR}$
到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度方向要沿著AB，${v_y}={v_p}．tanθ=\frac{3}{4}\sqrt{2gR}$
所以AD離地高度為 $h=3R-\frac{{{v_y}^2}}{2g}=\frac{39}{16}R$
（2）進(jìn)入A點(diǎn)滑塊的速度為 $v=\frac{v_P}{cosθ}=\frac{5}{4}\sqrt{2gR}$
假設(shè)經(jīng)過一個(gè)來回能夠回到A點(diǎn)，設(shè)回來時(shí)動(dòng)能為E_k，因?yàn)?{E_k}=\frac{1}{2}m{v^2}-4μmgcosθ2R＜0$，所以滑塊不會(huì)滑到A而飛出．   
根據(jù)動(dòng)能定理得
  mg2Rsinθ$-μmgcosθs=0-\frac{1}{2}m{v^2}$
得滑塊在鍋內(nèi)斜面上走過得總路程 $s=\frac{221R}{16}$
（3）設(shè)初速度、最高點(diǎn)速度分別為v₁、v₂
由牛頓第二定律得：
在Q點(diǎn)有
 ${F_1}-mg=\frac{mv_1^2}{R}$           
在P點(diǎn)有
  ${F_2}+mg=\frac{mv_2^2}{2R}$
所以${F_1}-{F_2}=2mg+\frac{m（2v_1^2-2v_2^2+v_2^2）}{2R}$
由機(jī)械能守恒得 $\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2}mv_2^2+mg3R$
得 $v_1^2-v_2^2=6gR$ 為定值
帶入v₂的最小值$\sqrt{2gR}$得，壓力差的最小值為9mg                
答：（1）應(yīng)調(diào)節(jié)鍋底支架高度使斜面的A、D點(diǎn)離地高為$\frac{39}{16}$R；
（2）滑塊在鍋內(nèi)斜面上走過的總路程為$\frac{221R}{16}$．
（3）通過最高點(diǎn)P和小圓弧最低點(diǎn)Q時(shí)受壓力之差的最小值為9mg．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要把握每個(gè)過程和狀態(tài)遵循的物理規(guī)律，知道通過P點(diǎn)的臨界條件，再結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)、動(dòng)能定理及機(jī)械能守恒、牛頓運(yùn)動(dòng)定律等基本規(guī)律解答．