Question

2．據(jù)每日郵報(bào)2014年4月18日?qǐng)?bào)道，美國(guó)國(guó)家航空航天局（NASA）目前宣布首次在太陽(yáng)系外發(fā)現(xiàn)“類地”行星Kepler-186f．假如宇航員乘坐宇宙飛船到達(dá)該行星，進(jìn)行科學(xué)觀測(cè)：該行星自轉(zhuǎn)周期為T；宇航員在該行星“北極”距該行星地面附近h處自由釋放一個(gè)小球（引力視為恒力），落地時(shí)間為t．已知該行星半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G，則下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 該行星的第一宇宙速度為$\frac{πR}{T}$
• B． 宇宙飛船繞該星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期不大于πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$
• C． 該行星的平均密度為$\frac{3h}{2πRG{t}^{2}}$
• D． 如果該行星存在一顆同步衛(wèi)星，其距行星表面高度為$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$

Answer 1

分析 根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)求出星球表面的重力加速度，繞該行星做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的萬(wàn)有引力提供向心力，應(yīng)用萬(wàn)有引力公式與牛頓第二定律求出速度、周期、質(zhì)量，然后分析答題．

解答 解：物體在行星表面在自由落體運(yùn)動(dòng)，h=$\frac{1}{2}$gt²，解得，星球表面的重力加速度：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$；
A、星球的第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}$=$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$，故A錯(cuò)誤；
B、根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，解得：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，可知軌道半徑越小周期越小，衛(wèi)星的最小半徑為R，則周期最小值為T_min=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$=πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$，故B錯(cuò)誤；
C、由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R，解得：M=$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$，星球的密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3h}{2πG{t}^{2}R}$，故C正確；
D、同步衛(wèi)星的周期與星球自轉(zhuǎn)周期相同故有：G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），解得：h=$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$-R，故D錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是通過(guò)自由落體運(yùn)動(dòng)求出星球表面的重力加速度，再根據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力和萬(wàn)有引力等于重力求解．