Question

如圖，質(zhì)量為M的圓柱形木棒豎直放置，在其頂部套有質(zhì)量為m的薄鐵環(huán)，當棒和環(huán)有相對運動時，棒和環(huán)之間有大小恒為kmg（k＞1）的摩擦力．現(xiàn)突然在棒下端給棒一個很大的沖擊力，使棒在瞬間具有豎直向上的初速度v₀．若要求鐵環(huán)在木棒落地前不滑離木棒．
（1）此木棒的長度L不得少于多少？
（2）求棒上升的最大高度．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律求出鐵環(huán)和木棒的加速度，抓住相對加速度，根據(jù)相對末速度為零，結(jié)合速度位移公式求出木板的至少長度．
（2）根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合運動學(xué)公式求出環(huán)和棒速度相等時上升的高度，然后一起向上做勻減速直線運動，通過速度位移公式求出一起勻減速運動的位移，從而得出上升的最大高度．

解答：解：（1）鐵環(huán)的加速度a1=

kmg-mg

m

=(k-1)g，方向豎直向上．
木棒的加速度a2=

kmg+Mg

M

，方向豎直向下．
則環(huán)相對木棒的加速度a=a1+a2=

kg(M+m)

M

．
木棒的長度至少應(yīng)等于環(huán)相對木棒的最大位移，L=

v02

2a

=

M v 2 0

2kg(M+m)

．
（2）環(huán)棒速度相等時有：
對鐵環(huán)有：v=a₁t
對木棒有：v=v₀-a₂t
由以上各式得，v=

a1

a1+a2

v0=

(k-1)Mv0

k(M+m)

設(shè)此時木棒上升的最大高度為h₁，以木棒初速度方向為正方向
v2-v02=-2a2h1
得h1=

v02-v2

2a2

=

(2kM+km-M)Mv02

2gk2(m+M)2

環(huán)棒速度相同后一起向上做勻減速運動
h2=

v2

2g

=

(k-1)2M2v02

2gk2(m+M)2

則棒上升的最大高度h=h1+h2=

(kM+m)M v 2 0

2k(M+m)2g

．
答：（1）此木棒的長度L不得少于

M v 2 0

2kg(M+m)

．
（2）棒上升的最大高度為

(kM+m)M v 2 0

2k(M+m)2g

．

點評：本題考查了牛頓第二定律的運動學(xué)公式的綜合運用，對學(xué)生能力要求較高，知道加速度是聯(lián)系力學(xué)和運動學(xué)的橋梁．