Question

（10分）若不考慮太陽和其他星體的作用，則地球-月球系統(tǒng)可看成孤立系統(tǒng)。若把地球和月球都看作是質量均勻分布的球體，它們的質量分別為M和m，月心-地心間的距離為R，萬有引力恒量為G。學生甲以地心為參考系，利用牛頓第二定律和萬有引力定律，得到月球相對于地心參考系的加速度為；學生乙以月心為參考系，同樣利用牛頓第二定律和萬有引力定律，得到地球相對于月心參考系的加速度為。這二位學生求出的地-月間的相對加速度明顯矛盾，請指出其中的錯誤，并分別以地心參考系（以地心速度作平動的參考系）和月心參考系（以月心速度作平動的參考系）求出正確結果。

Answer 1

解析：

因地球受月球的引力作用，月球受地球的引力作用，它們相對慣性系都有加速度，故它們都不是慣性參考系．相對非慣性參考系，牛頓第二定律不成立．如果要在非慣性參考系中應用牛頓第二定律，必須引入相應的慣性力；而這兩位學生又都未引入慣性力，所以他們得到的結果原則上都是錯誤的．

以地心為參考系來求月球的加速度.地心系是非慣性系，設地球相對慣性系的加速度的大小為，則由萬有引力定律和牛頓第二定律有

，                                              (1)

加速度的方向指向月球．相對地心參考系，月球受到慣性力作用，其大小

，                                                    (2)

方向指向地球，與月球受到的萬有引力的方向相同．若月球相對地心系的加速度為，則有

．                                      (3)

由(1)、(2)、(3)三式，得

，                                            (4)

加速度的方向指向地球。

以月心為參考系來求地球的加速度.月心系也是非慣性系，設月球相對慣性系的加速度的大小為，則由萬有引力定律和牛頓第二定律有

，                                              (5)

加速度的方向指向地球．相對月心參考系，地球受到慣性力作用，慣性力的大小

，                                                   (6)

方向指向月球，與地球受到的萬有引力的方向相同．若地球相對月心系的加速度為，則有

．                                      (7)

由(5)、(6)、(7)三式得

，                                             (8)

加速度的方向指向月球。

(4)式與(8)式表明，地球相對月心系的加速度與月球相對地心系的加速度大小相等(方向相反)，與運動的相對性一致。