Question

6．宇航員站在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一個(gè)小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落到星球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng)，若拋出時(shí)的初速度增大到2倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為$\sqrt{3}$L．已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬(wàn)有引力常數(shù)為G，求：
（1）小球拋出點(diǎn)離該星球表面的高度（用L表示）．
（2）該星球表面的重力加速度g
（3）該星球的質(zhì)量M．（用題中已知量表示）

Answer 1

分析 根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出高度，由豎直向的自由落體確定出星球表面的重力加速度，通過(guò)萬(wàn)有引力等于重力求出星球的質(zhì)量．

解答 解：（1）設(shè)拋出點(diǎn)的高度為h，第一次平拋水平射程為x，則x²+h²=L² ①
若平拋初速度增大2倍，則有$（2x）^{2}+{h}^{2}=（\sqrt{3}L）^{2}$      ②
由①②解得：h=$\frac{L}{\sqrt{3}}$      ③
2）設(shè)該星球重力加速度為g，得h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$  得g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$=$\frac{2L}{\sqrt{3}{t}^{2}}$   ④
（3）又有$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$    ⑤
由③④⑤式可得M=$\frac{2\sqrt{3}L{R}^{2}}{3G{t}^{2}}$
答：（1）小球拋出點(diǎn)離該星球表面的高度為$\frac{L}{\sqrt{3}}$．
（2）該星球表面的重力加速度g為$\frac{2L}{\sqrt{3}{t}^{2}}$．
（3）該星球的質(zhì)量為$\frac{2\sqrt{3}L{R}^{2}}{3G{t}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，并能靈活運(yùn)用． 由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律確定出重力加速度，結(jié)合萬(wàn)有引力的力等于重力求解，不難．