Question

16．如圖所示為同一平面內同一圓心的兩個圓形軌道，半徑分別為R₁=10m，R₂=5m．A、B兩小車靜止在軌道上，且A、B、O三點在同一直線上，此時A、B相距最近．t=0時刻A、B同時啟動，已知它們的速率均勻增加，且每秒均增加0.6m/s，當速率達到v=3m/s后均保持速率不變．求：
（1）A、B加速過程中，B、O連線轉過的角度與A、O連線轉過的角度之差為多少弧度．
（2）從A、B開始運動到A、B再次相距最近經歷的最短時間t．

Answer 1

分析 （1）將兩小車的運動類比于勻加速直線運動，計算出加速過程運動的弧長，再分別計算出兩車轉過的角度，最后求出B、O連線轉過的角度與A、O連線轉過的角度之差；
（2）先計算出兩車運動的角速度，找到兩車再次相距最近要滿足的條件ω_Bt-ω_At=2nπ（n=1，2，3，4…），計算出再次相距最近的最短時間．

解答 解：（1）A、B兩小車的速率均勻增加，且每秒均增加0.6m/s，當速率達到v=3m/s后均保持速率不變
將A、B兩小車的運動類比于勻加速直線運動，則加速度a=0.6m/s²，末速度v=3m/s
則加速的時間t₁=$\frac{v-0}{a}$=5s
這段時間運動的弧長l=$x=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}=7.5m$
對A車有：${θ}_{A}=\frac{l}{{R}_{1}}=0.75rad$
對B車有：${θ}_{B}=\frac{l}{{R}_{2}}=1.5rad$
故△θ=θ_B-θ_A=0.75rad
（2）A車運動的角速度${ω}_{A}=\frac{{θ}_{A}}{{t}_{1}}=\frac{0.75rad}{5s}=0.15rad/s$
B車運動的角速度${ω}_{B}=\frac{{θ}_{B}}{{t}_{1}}=\frac{1.5rad}{5s}=0.3rad/s$
從A、B開始運動到A、B再次相距最近需滿足ω_Bt-ω_At=2nπ（n=1，2，3，4…）
時間最短，即n=1時，ω_Bt-ω_At=2π
解得t=$\frac{40}{3}π\(zhòng)\;s$ s≈41.9s
答：（1）A、B加速過程中，B、O連線轉過的角度與A、O連線轉過的角度之差為0.75弧度．
（2）從A、B開始運動到A、B再次相距最近經歷的最短時間t為41.9s．

點評 本題難度中上，解題關鍵是先計算出弧長，算出運動轉過的角度，最后計算兩車角速度，找到要再次相距最近需滿足的條件．另外注意各物理量的單位不能錯．