Question

13．如圖所示，在x≥O的區(qū)域內(nèi)存在與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向垂直于紙面朝里，假設(shè)一系列質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子初速度為零，經(jīng)過加速電場(chǎng)加速后從O點(diǎn)沿Ox軸正方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域．有一塊厚度不計(jì)、高度為d的金屬板豎直放置在磁場(chǎng)中，截面如圖，M、N分別為金屬板截面的上、下端點(diǎn)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（d，2d），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（d，d）．不計(jì)正離子的重力．
（1）加速電場(chǎng)的電壓在什么范圍內(nèi)，進(jìn)入磁場(chǎng)的離子才能全部打在金屬板上？
（2）求打在金屬板上的離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間與最長(zhǎng)時(shí)間的比值？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）由動(dòng)能定理求出粒子的速度，再根據(jù)洛倫茲力充當(dāng)向心力求出恰好打到N點(diǎn)時(shí)的半徑，在求出恰好打到M點(diǎn)的半徑，中間的數(shù)據(jù)就是所求的電壓范圍；
（2）分別求出打到M點(diǎn)時(shí)的最長(zhǎng)時(shí)間和打到N點(diǎn)時(shí)的最短時(shí)間，然后求比值即可．

解答 解：（1）設(shè)加速電壓為U，正離子初速度為零，經(jīng)過加速電場(chǎng)加速，根據(jù)動(dòng)能定理得：
qU=$\frac{1}{2}$mv²
正離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力：
qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
R=$\frac{\sqrt{2mqU}}{qB}$
當(dāng)加速電壓較小時(shí)，離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑較小，當(dāng)離子恰好打到金屬板下端點(diǎn)N點(diǎn)時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最小為R_min，如圖1
根據(jù)幾何知識(shí)可以判斷R_min=d
故：U_min=$\frac{q{B}^{2}02glj1c^{2}}{2m}$
當(dāng)加速電壓較大時(shí)，離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑較大，當(dāng)離子恰好打到金屬板上端點(diǎn)M點(diǎn)時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最大為Rmax，如圖2
根據(jù)幾何知識(shí)判斷：R_max²=d²+（2d-R_min）²
解得R_max=$\frac{5}{4}$d
所以U_max=$\frac{25q{B}^{2}cz3cpn1^{2}}{32m}$
所以離子能全部打在金屬板上，加速電壓的取值范圍為：$\frac{q{B}^{2}wncqenl^{2}}{2m}$≤U≤$\frac{25q{B}^{2}d{\;}^{2}}{32m}$
（2）設(shè)離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：
T=$\frac{2πR}{v}$  ①
又qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$ ②
聯(lián)立①②解得：T=$\frac{2πm}{qB}$
離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與加速電壓無關(guān)．
離子在圖1中所示的軌跡中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短為
t_min=$\frac{1}{4}$T
離子在圖2所示的軌跡中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)為：
t_max=$\frac{90+θ}{360°}$
根據(jù)幾何知識(shí)：cosθ=$\fracq11d7sa{{r}_{max}}$
則：θ=37°
所以$\frac{{t}_{min}}{{t}_{max}}$=$\frac{90}{127}$
答：（1）加速電場(chǎng)的電壓在為：$\frac{q{B}^{2}edap16e^{2}}{2m}$≤U≤$\frac{25q{B}^{2}d{\;}^{2}}{32m}$范圍內(nèi)，進(jìn)入磁場(chǎng)的離 子才能全部打在金屬板上，
（2）打在金屬板上的離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間與最長(zhǎng)時(shí)間的比值為$\frac{90}{127}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查離子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)和電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律應(yīng)用，要注意明確帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)應(yīng)用動(dòng)能定理分析，而在磁場(chǎng)中要注意明確洛倫茲力充當(dāng)向心力規(guī)律以及幾何關(guān)系進(jìn)行分析求解，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)規(guī)律應(yīng)用能力要求較高．