Question

勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向沿x軸正向，電場(chǎng)強(qiáng)度E隨x的分布如圖所示．圖中E₀和d均為已知量，將帶正電的質(zhì)點(diǎn)A在O點(diǎn)由能止釋放，A離開電場(chǎng)足夠遠(yuǎn)后，再將另一帶正電的質(zhì)點(diǎn)B放在O點(diǎn)也由靜止釋放，當(dāng)B在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，A、B間的相互作用力及相互作用能均為零；B離開電場(chǎng)后，A、B間的相作用視為靜電作用，已知A的電荷量為Q，A和B的質(zhì)量分別為m和

m

4

，不計(jì)重力．
（1）求A在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
（2）若B的電荷量q=

4

9

Q，求兩質(zhì)點(diǎn)相互作用能的最大值E_Pm；
（3）為使B離開電場(chǎng)后不改變運(yùn)動(dòng)方向，求B所帶電荷量的最大值q_m．

Answer 1

分析：（1）A在電場(chǎng)中時(shí)，在電場(chǎng)力作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求得加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)位移公式求解運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
（2）分析A、B的運(yùn)動(dòng)情況：A、B相互作用的過程中，A、B間相互作用力為斥力，A受力方向與其運(yùn)動(dòng)方向相同做加速運(yùn)動(dòng)，B受力方向與其運(yùn)動(dòng)方向相反做減速，當(dāng)兩者速度相同，最接近時(shí)，相互作用能最大，根據(jù)動(dòng)量守恒和能量守恒，列式求解相互作用能的最大值E_Pm；
（3）研究A、B在x＞d區(qū)間的運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和能量守恒，列式，得到B的速度v_B表達(dá)式，B不改變運(yùn)動(dòng)方向，v_B≥0，即可求出B所帶電荷量的最大值q_m．

解答：解：（1）由牛頓第二定律，A在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速a=

f

m

=

QE0

m

   A在電場(chǎng)中做勻變速直線運(yùn)動(dòng)   d=

1

2

at²
解得運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=

2d a

=

2dm QE 0

 
（2）設(shè)A．B離開電場(chǎng)的速度分別為v_A0、v_B0，由動(dòng)能定理，有
     QE_Od=

1

2

m

v

2 A0

，qE₀d=

1

2

?

m

4

?

v

2 B0

  ①
A、B相互作用的過程中，動(dòng)量和能量均守恒，A、B間相互作用力為斥力，A受力方向與其運(yùn)動(dòng)方向相同，B受力方向與其運(yùn)動(dòng)方向相反，相互作用力A做正功，對(duì)B做負(fù)功．在AB靠近的過程中，B的路程大于A的路程，由于作用力大小相等，作用力對(duì)B做功的絕對(duì)值大于對(duì)A做功的絕對(duì)值，因此相互作用力做功之和為負(fù)，相互作用能增加，所以當(dāng)A、B最接近時(shí)，相互作用能最大，因此兩者速度相同，設(shè)v′，有
   （m+

m

4

）v′=mv_A0+

m

4

vB0   ②
E_pm=（

1

2

m

v

2 A0

+

1

2

?

m

4

?

v

2 B0

）-

1

2

（m+

m

4

）v^′2 ③
又已知 q=

4

9

Q，由①②③解得  相互作用能的最大值為 E_pm=

1

45

QE0d
（3）考慮A、B在x＞d區(qū)間的運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)量守恒、能量守恒，且在初態(tài)和末態(tài)均無(wú)相互作用，有
  mv_A+

m

4

vB=mv_A0+

m

4

vB0  ④
 

1

2

m

v

2 A

+

1

2

?

m

4

?

v

2 B

=

1

2

m

v

2 A0

+

1

2

?

m

4

?

v

2 B0

   ⑤
由④⑤解得  v_B=-

3

5

vB0+

8

5

vA0
因B不改變運(yùn)動(dòng)方向，故v_B≥0  ⑥
由①⑥解得  q≤

16

9

Q
即B所帶電荷量的最大值為 Q_m=

16

9

Q
答：（1）求A在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t是

2dm QE 0

；
（2）若B的電荷量q=

4

9

Q，兩質(zhì)點(diǎn)相互作用能的最大值E_Pm是

1

45

QE0d．
（3）為使B離開電場(chǎng)后不改變運(yùn)動(dòng)方向，B所帶電荷量的最大值q_m是

16

9

Q．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵要分析兩質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，把握每個(gè)過程的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，此題類似于彈性碰撞過程，在相互作用過程中，遵守兩大守恒：動(dòng)量守恒和能量守恒，當(dāng)兩者速度相等時(shí)，相互作用能達(dá)到最大．