Question

8．如圖所示，在粗糙水平臺階上靜止放置一質量m=0.5kg的小物塊，它與水平臺階表面的動摩擦因數μ=0.5，且與臺階邊緣O點的距離s=5m．在臺階右側固定了一個$\frac{1}{4}$圓弧擋板，圓弧半徑R=1m，圓弧的圓心也在O點．今以O點為原點建立平面直角坐標系．現(xiàn)用F=5N的水平恒力拉動小物塊，一段時間后撤去拉力，小物塊最終水平拋出并擊中擋板．（g取10m/s²）
（1）若小物塊擊中檔板上的P點（OP與水平方向夾角為37°，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）則其離開O點時的速度大小；
（2）為使小物塊擊中檔板，求拉力F作用的最短時間；
（3）改變拉力F的作用時間，使小物塊擊中擋板的不同位置．求擊中擋板時小物塊動能的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據平拋知識求小物塊離開O點時的速度大小；
（2）小物塊能擊中擋板，則小物塊必須能夠到達O點，據動能定理求得力F作用的位移，再根據牛頓運動定律和運動學規(guī)律求得力F的作用時間；
（3）根據能擊中擋板的條件求出小物塊動能的表達式，再根據數學分析求動能的最小值．

解答 解：（1）小物塊從O到P，做平拋運動
水平方向：Rcos37°=v₀t
豎直方向：$Rsin37°=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
可得：${v}_{0}=\frac{Rcos37°}{t}=\frac{Rcos37°}{\sqrt{\frac{2Rsin37°}{g}}}$=$\frac{4}{3}\sqrt{3}m/s$
（2）為使小物塊擊中檔板，小物塊必須能運動到O點，
由動能定理得：Fx-μmgS=△E_k=0
解得：$x=\frac{μmg}{F}S=\frac{0.5×0.5×10}{5}×5m$=2.5m
由牛頓第二定律得：F-μmg=ma
解得：$a=\frac{F}{m}-μg=\frac{5}{0.5}-0.5×10m/{s}^{2}=5m/{s}^{2}$
由運動學公式得：$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
解得：t=1s
（3）設小物塊擊中擋板的任意點坐標為（x，y），則
x=v₀t
$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
由機械能守恒得：${E}_{k}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgy$
又x²+y²=R
化簡整理得：${E}_{k}=\frac{mg{R}^{2}}{4y}+\frac{3mgy}{4}$
由數學知識可得${E}_{kmin}=\frac{5\sqrt{3}}{2}J$
答：（1）若小物塊擊中檔板上的P點（OP與水平方向夾角為37°，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）則其離開O點時的速度大小為$\frac{4}{3}\sqrt{3}m/s$；
（2）為使小物塊擊中檔板，拉力F作用的最短時間為1s；
（3）改變拉力F的作用時間，使小物塊擊中擋板的不同位置．擊中擋板時小物塊動能的最小值為$\frac{5\sqrt{3}}{2}J$．

點評 解決本題的關鍵是掌握平拋運動知識及牛頓運動定律和動能定理的應用，本題綜合性較高，需要掌握的知識點較多，題目較難．