Question

12．如圖所示，空間存在水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，將質(zhì)量為m，帶電量為q的一帶電小球從A點(diǎn)由靜止釋放，小球在重力和磁場(chǎng)力的作用下的運(yùn)動(dòng)可看作是向右勻速直線運(yùn)動(dòng)與逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，重力加速度為g，小球在運(yùn)動(dòng)過程中不會(huì)和地面相碰，空氣的阻力不計(jì)．則（　�。�

• A． 小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)速度大小為$\frac{2mg}{qB}$
• B． 小球下降的最大高度為$\frac{2{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$
• C． 小球從釋放到第一次回到與A等高處的過程中，磁場(chǎng)力對(duì)小球先做正功后做負(fù)功
• D． 小球從釋放到第一次回到與A等高處所用時(shí)間為$\frac{2πm}{qB}$

Answer 1

分析 該題中，小球從A點(diǎn)出發(fā)，先向下運(yùn)動(dòng)，然后在洛倫茲力的作用下，運(yùn)動(dòng)的軌跡發(fā)生偏轉(zhuǎn)，由題可知，若將小球的運(yùn)動(dòng)看做是在重力和磁場(chǎng)力的作用下，是向右勻速直線運(yùn)動(dòng)與逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，則小球的運(yùn)動(dòng)具有周期性與對(duì)稱性，小球的受力也具有周期性與對(duì)稱性，小球在最高點(diǎn)與最低點(diǎn)受到的合力的方向相反，大小相等．分析小球受到的合外力提供向心力，即可求出小球在最低點(diǎn)的速度，然后由機(jī)械能守恒即可求出小球下落的高度，由小球在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，即可求出周期．

解答 解：A、由題意，可以將小球的運(yùn)動(dòng)可以看做是在重力和磁場(chǎng)力的作用下，是向右勻速直線運(yùn)動(dòng)與逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，則小球的運(yùn)動(dòng)具有周期性與對(duì)稱性，小球在最高點(diǎn)與最低點(diǎn)受到的合力的方向相反，大小相等．
小球在最高點(diǎn)的速度為0，只受到的重力的作用，方向向下，可知小球在最低點(diǎn)時(shí)，小球受到的洛倫茲力與重力的合力方向向上，大小也等于重力，即：qvB-mg=mg，所以：$v=\frac{2mg}{qB}$．故A正確；
B、小球下降的過程中，只有重力做功，洛倫茲力不做功，可得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，所以：h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$=$\frac{2{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$．故B正確；
C、由于洛倫茲力的方向始終與運(yùn)動(dòng)的方向垂直，所以小球從釋放到第一次回到與A等高處的過程中，磁場(chǎng)力對(duì)小球一直不做功．故C錯(cuò)誤；
D、由于小球的運(yùn)動(dòng)可以看做是向右勻速直線運(yùn)動(dòng)與逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，小球從釋放到第一次回到與A等高處所用時(shí)間就等于小球做完一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)所用的時(shí)間，為t=T=$\frac{2πm}{qB}$．故D正確．
故選：ABD

點(diǎn)評(píng) 該題考查帶電粒子在重力和洛倫茲力的作用下的運(yùn)動(dòng)，由于洛倫茲力的大小隨速度發(fā)生變化，洛倫茲力的方向也隨速度的方向發(fā)生變化，所以通常的方法是使用偏微分方程來解答．該題中，由于題目給出了“小球在重力和磁場(chǎng)力的作用下的運(yùn)動(dòng)可看作是向右勻速直線運(yùn)動(dòng)與逆時(shí)針方向的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)”的特殊的方法，因此，可以結(jié)合運(yùn)動(dòng)的周期性和對(duì)稱性，以及受力的周期性與對(duì)稱性進(jìn)行解答．