Question

湖南省電視臺(tái)“智勇大沖關(guān)”游樂節(jié)目中，選手需要借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺(tái)上，小明和小陽觀看后對(duì)此進(jìn)行了討論．如圖所示，他們將選手簡(jiǎn)化為質(zhì)量m=60kg的質(zhì)點(diǎn)，選手抓住繩子末端由靜止開始擺動(dòng)，此時(shí)繩與豎直方向夾角α=53°，繩長(zhǎng)l=2m的懸掛點(diǎn)O距水面的高度為H=3m．不考慮空氣阻力和繩的質(zhì)量，浮臺(tái)露出水面的高度不計(jì)，水足夠深．取g=10m/s²（sin53°=0.8，cos53°=0.6）．求：
（1）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)對(duì)繩拉力的大小F；
（2）選手?jǐn)[到右邊最高點(diǎn)時(shí)松手，設(shè)水對(duì)選手的平均浮力f₁=800N，平均阻力f₂=700N，求選手落入水中的深度d；
（3）若要求選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)松手，且運(yùn)動(dòng)到浮臺(tái)處離岸水平距離最大，則選手實(shí)際的擺線長(zhǎng)度l₁應(yīng)為多少？

Answer 1

分析：（1）、在擺動(dòng)過程中，機(jī)械能是守恒的，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律求出運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的速度．再用牛頓運(yùn)動(dòng)定律結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的向心力求出繩子對(duì)選手的拉力，最后用牛頓第三定律求出選手對(duì)繩子的拉力．
（2）、對(duì)從選手開始下落，到進(jìn)入水后速度為零的過程中，由貫穿整個(gè)過程的重力做正功，進(jìn)入水后，浮力和阻力最選手做負(fù)功，選手初末狀態(tài)的動(dòng)能都為零，用動(dòng)能定理列式，求出落入水中的深度．
（3）、對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)沿水平和豎直兩個(gè)方向進(jìn)行分解，水平方向上是勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向上時(shí)自由落體運(yùn)動(dòng)，分別列出位移式子，聯(lián)立后進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，得出當(dāng)l=1.5m時(shí)，水平方向由最大值．

解答：解：（1）選手從最高點(diǎn)擺到最低點(diǎn)的過程中，由機(jī)械能守恒：
mgl(1-cosα)=

1

2

mv2
在最低點(diǎn)：T-mg=m

v2

l

聯(lián)立上兩式解得：T=1080N
（2）選手從右邊最高點(diǎn)開始作自由落體運(yùn)動(dòng)，然后再進(jìn)入水中，由動(dòng)能定理：mg（H-lcosα+d）-（f₁+f₂）d=0-0
解得：d=1.2m
（3）設(shè)選手?jǐn)[動(dòng)時(shí)的擺長(zhǎng)為l₁，則mgl1(1-cosα)=

1

2

mv12
所以得：v1=

2gl1(1-cosα)

當(dāng)選手在作平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，在豎直方向上：H-l1=

1

2

g

t

2

；
解得：t=

2(H-l1) g

在水平方向上：x=v1t=

2gl1(1-cosα) 2(H-l1) g

=2

l1(1-cosα)(H-l1)

=2

0.4l1(3-l1)

所以，當(dāng)l₁=1.5m時(shí)選手?jǐn)[到最低點(diǎn)松手，運(yùn)動(dòng)到浮臺(tái)處離岸水平距離最大．
答：（1）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)對(duì)繩拉力的大小F為1080N；
（2）選手落入水中的深度d為1.2m；
（3）當(dāng)l₁=1.5m時(shí)選手?jǐn)[到最低點(diǎn)松手，運(yùn)動(dòng)到浮臺(tái)處離岸水平距離最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查到了機(jī)械能守恒，圓周運(yùn)動(dòng)向心力，動(dòng)能定理，平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律及求極值問題．
解答第一問時(shí)，一定注意要求的是選手對(duì)繩子的拉力．解題過程中是對(duì)選手進(jìn)行受力分析的，故不要忘記應(yīng)用牛頓第三定律．應(yīng)用動(dòng)能定理解答第二問時(shí)，要注意，重力做功貫穿整個(gè)過程，而浮力和阻力做功只是在水中時(shí)．關(guān)于物理當(dāng)中的極值問題，要會(huì)熟練的對(duì)式子進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，從而得出結(jié)論．