Question

8．如圖所示，一根輕繩上端固定在 O 點(diǎn)，下端拴一個(gè)重為 G 的鋼球 A，球處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)對(duì)球施加一個(gè)方向水平向右的外力 F，使球緩慢地偏移，在移動(dòng)過程中的每一時(shí)刻，都可以認(rèn)為球處于平衡狀態(tài)，外力F方向始終水平向右，最大值為2G．試分析：
（1）在直角坐標(biāo)系中畫出描述上述物理過程的張力T與偏角θ的（$\frac{1}{cosθ}$）的關(guān)系圖象．
（2）由圖示位置撒去外力F（輕繩與豎直方向夾角為θ）無初速釋放小球，求當(dāng)小球通過最低點(diǎn)時(shí)的速度大小及輕繩對(duì)小球的拉力．不計(jì)空氣阻力，輕繩長設(shè)為L．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)水平拉力F=0時(shí)，輕繩處于豎直位置時(shí)，繩子張力最小，當(dāng)水平拉力F=2G時(shí)，繩子張力最大，根據(jù)平衡條件列方程求解T的范圍，鋼球始終處于平衡狀態(tài)，對(duì)鋼球進(jìn)行受力分析，鋼球受重力G、繩子拉力T和外力F三力作用下平衡，依據(jù)平衡條件列方程找出T與θ的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而畫出圖象；
（2）小球從釋放到最低點(diǎn)的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理求解速度，在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律求解繩子拉力．

解答 解：（1）當(dāng)水平拉力F=0時(shí)，輕繩處于豎直位置時(shí)，繩子張力最小T₁=G
當(dāng)水平拉力F=2G時(shí)，繩子張力最大${T}_{2}=\sqrt{{G}^{2}+（2G）^{2}}=\sqrt{5}G$
因此輕繩的張力范圍是：G≤T≤$\sqrt{5}G$
設(shè)在某位置球處于平衡位置，受力如圖所示：

由平衡條件得
Tcosθ=G
所以$T=\frac{G}{cosθ}$
得圖象如圖所示．

（2）小球從釋放到最低點(diǎn)的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mgL（1-cosθ）$，
解得：v=$\sqrt{2gL（1-cosθ）}$
在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得：
$T-mg=m\frac{{v}^{2}}{L}$
解得：T=mg+2（1-cosθ）mg=（3-2cosθ）mg
答：（1）在直角坐標(biāo)系中畫出描述上述物理過程的張力T與偏角θ的（$\frac{1}{cosθ}$）的關(guān)系圖象，如圖所示．
（2）當(dāng)小球通過最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\sqrt{2gL（1-cosθ）}$，輕繩對(duì)小球的拉力為（3-2cosθ）mg．

點(diǎn)評(píng) 此題不僅對(duì)平衡條件能熟練的應(yīng)用，還要能根據(jù)平衡條件能找出力隨角度變化的關(guān)系．屬于中檔題，有一定的難度．