Question

2．輕質彈簧原長為2R，將彈簧豎直放置在地面上，將一質量為6m的物體置于彈簧的頂端由靜止釋放，當彈簧被壓縮到最短時，彈簧長度為R．現將該彈簧放置在傾角為37⁰的斜面軌道AC上，一端固定在斜面下端擋板上的A點，另一端與物塊P接觸但不連接．直軌道與一半徑為R的光滑圓弧軌道相切于C點，AC=6R，A、B、C、D均在同一豎直面內．用外力推動物塊P，將彈簧壓縮長度R后，此時物塊P位于B處，如圖所示．撤去外力釋放物塊P，P開始沿軌道運動，重力加速度為g，物塊P與BC間的動摩擦因數μ=0.5．（取sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$）
（1）若物塊P的質量為m，求物塊P到達C點時速度的大��；
（2）改變物塊P的質量，再用外力將物塊P仍推至B 點，靜止釋放后，若物塊 P沿軌道運動至圓弧的最高點D處水平飛出后，恰好通過與C在同一水平高度上的E點，E點與C點水平相距$\frac{21}{5}$R，求物塊P運動到D點時速度的大小及改變后物塊P的質量．

Answer 1

分析 （1）將6m的物體置于彈簧的頂端由靜止釋放，由系統(tǒng)的機械能守恒求出彈簧的彈性勢能．若物塊P的質量為m，在外力作用下，P將彈簧壓縮長度R時，彈簧的彈性勢能不變．P由B到達C點，運用動能定理求物塊P到達C點時速度的大�。�
（2）P由D到達E點作平拋運動，由平拋運動下降的高度和水平位移大小結合求出物塊P運動到D點時速度．P由B到達D點，運用動能定理求改變后物塊P的質量．

解答 解：（1）6m的物體置于彈簧的頂端由靜止釋放，由機械能守恒得彈簧的彈性勢能為：E_P=6mgR     
P由B到達C點，由動能定理有：W_彈-mg$\overline{BC}$sin37°-μmgcos37°•$\overline{BC}$=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-0
由功能關系有：W_彈=E_P
得：v_C=$\sqrt{2gR}$            
（2）P由D到達E點作平拋運動，有：
R+Rcos37°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$           
$\overline{EC}$-Rsin37°=v_Dt                                 
解得：v_D=$\sqrt{\frac{18}{5}gR}$                                            
P由B到達D點，由動能定理有：
W_彈-m′g$\overline{BC}$sin37°-μm′gcos37°•$\overline{BC}$-m′g（R+Rcos37°）=$\frac{1}{2}m′{v}_{D}^{2}$-0
解得：m′=$\frac{30}{43}$m
答：（1）若物塊P的質量為m，物塊P到達C點時速度的大小是$\sqrt{2gR}$：
（2）物塊P運動到D點時速度的大小是$\sqrt{\frac{18}{5}gR}$，改變后物塊P的質量是$\frac{30}{43}$m．

點評 本題要分析清楚物體的運動情況，抓住彈簧的彈性勢能與形變量有關，對于兩種情況，要抓住彈性勢能相等．對動能定理的運用，要選擇研究過程，分析哪些力對物體做功，進而確定合力的功或總功．